2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:39 
Хочу предложить вашему вниманию одну занимательную задачу
для всех положительных $a,b$ выполняется соотношение
$f(a)+f(b)=f(\frac{a+b+ab}{1+ab})$
Найти все непрерывные $f(x)$

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:46 
Она точно олимпиадная?

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:52 
нет, я ее сам придумал

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:55 
Обычные подстановки единиц и нулей вместо $a$ и $b$ разве не приводят, в конечном счёте, к ответу?

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:57 
неа
ну напишите, вроде функция сложная получается

-- 30.11.2011, 21:58 --

перечитайте условие :mrgreen:

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 20:59 

(Оффтоп)

Подумашь, непрерывные. Для этого теорема была какая-то. Ладно, молчу и временами заглядываю, проверяя на ответ, а то самому нет времени решать.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 21:07 

(Оффтоп)

слив защитан :mrgreen:

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 21:18 
Аватара пользователя
Нуль только подходит. Если подставить вместо $b$ что-то в районе золотого сечения золотое сечение, получим $f(a)  + f(b) = f(b)$ для всех $a$, кроме одного.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 21:28 
Куда чего подставляем?

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 21:51 
Аватара пользователя
 !  Mega Sirius12, предупреждение за грубость и намеренные грамматические искажения.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение30.11.2011, 23:46 
1) $f(\frac{1}{a})+f(\frac{1}{b})=f(a)+f(b)$.
2) $b=1$ и $f(\frac{1}{a})=f(a)$.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение01.12.2011, 16:00 
Аватара пользователя
Mega Sirius12 в сообщении #510246 писал(а):
Куда чего подставляем?

Возьмем такое $b$, что $b^2=b+1$. Тогда при $a\neq -1/b$
$$
\frac{a+b+ab}{1+ab} = \frac{b+a(1+b)}{1+ab}= \frac{b+ab^2}{1+ab}=b.
$$
и поэтому $f(a) =0$.

Так как таких $b$ ровно два, то имеем для всех $a$, и даже непрерывность не нужна.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение06.12.2011, 17:34 
Вот ещё одна задача: $f:R\rightarrow R$
1) $f$ - непрерывна
2) $f(f(x))\cdot f(x) = 1$
3) $f(1000)=999$
Найти $f(500)$.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение06.12.2011, 18:28 
Что-то не так в условии: обозначим $f(x)=t$ из 2. получим $f(t)=\dfrac 1t$,что противоречит 3.

 
 
 
 Re: Функционально уравнение
Сообщение06.12.2011, 19:11 
Аватара пользователя
Это если 1000 входит в область значений; ну а если нет?

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group