Найти максимальное значение

[xmaister]

Пусть $f\in C[0,1]$. $I(f)=\int\limits_{0}^{1}x^2f(x)dx$, $J(f)=\int\limits_{0}^{1}xf^2(x)dx$. Найти максимальное значение $I(f)-J(f)$.

(Источник)

Putnam2006B5

[AlexValk]

$I(f)-J(f)=\int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{4}-\int\limits_{0}^{1} x\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)^2 dx\leq \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{4}dx=\frac{1}{16}$
Равенство достигается при $f(x)=\frac{x}{2}$

[xmaister]

AlexValk в сообщении #509418 писал(а):

$I(f)-J(f)=\int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{4}-\int\limits_{0}^{1} x\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)^2 dx\geq \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{4}dx=\frac{1}{16}$

Наверное, неравенство в другую сторону. Вообще прикольное решение, ни за что бы не догадался . Я в лоб решал вариационную задачу.

[AlexValk]

Да - неравенство в другую сторону. Исправил.
Я тоже находил $f$ вариационным методом. А увидев ответ, осознал, что задача чисто алгебраическая.
Что касается вариационного подхода, то он лишь находит экстремаль - стационарную точку. Нужно еще анализировать максимум это или минимум. И даже после этого еще остается вопросы существования (например, не может ли быть в данной задачи кроме локального экстремума еще и ситуации $\sup_f(I(f)-J(f))=\infty$, как, скажем, у функции $-1/(x(1-x))+100(x-1/2)^2$ на интервале (0;1)?).

[xmaister]

$\text{Ф}(y)=\int\limits_{0}^{1}(x^2y-xy^2)dx$. $\text{Ф}(\frac{x}{2})-\text{Ф}(\frac{x}{2}+\delta y)=\int\limits_{0}^{1}x(\delta y)^2dx$. $\text{Ф}(\frac{x}{2})-\text{Ф}(\frac{x}{2}+\delta y)\ge 0$ для любой вариации $\delta y$. Получается, что на кривой $y=\frac{x}{2}$ достигается сильный максимум функционала $\text{Ф}(y)$?

[AlexValk]

Да, Вы правы, поскольку тут удаётся показать неотрицательность вариации $\Phi$ для любых, а не только малых вариаций $\delta y$. Фактически, (в чуть других обозначениях) Ваша формула $\text{Ф}(\frac{x}{2}+\delta y)=\text{Ф}(\frac{x}{2})-\int\limits_{0}^{1}x(\delta y)^2dx$ это и есть то решение, которое предложил я. А в прошлом посте я говорил, что если бы мы просто вычислили вторую вариацию в точке $y=x/2$ и показали её положительность, то это гарантировало нам лишь локальный максимум, а не глобальный.