Функция двух случайных величин. Помогите разобраться.

[final_sleep]

Здравствуйте.

Есть задача на функцию двух случайных величин. Она в принципе проста, проблема в том что я не понимаю как связать её данные.
Собственно задача:

Цитата:

Владелец сезонного железнодорожного билета обычно выезжает из дома между 7.30 и 8.00 утра; поездка длится от 20 до 30 минут. Предполагается, что время выхода и продолжительность поездки представляют собой независимые случайные величины, равномерно распределенные в соответствующих интервалах. Имеются два поезда, которыми он может ехать: первый отправляется в 8.05 и идет 35 минут, второй в 8.25 и идет 30 минут. Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов, определить среднее время его прибытия к месту назначения.

Из условий задачи я понял что мы имеем функцию двух случайных величин, пусть они будут $X$ и $Y$. случайные величины $X$ и $Y$ имеют равномерное распределение на промежутках $[450,480]$ и $[20,30]$ соответственно. Плотности распределения соответственно будут такими $f(x)=\frac{1}{30}, \ f(y)=\frac{1}{10}$. Дальше темный лес. Я не понимаю как связать это, со средним временем прибытия вышеупомянутого гражданина к месту назначения.
Заранее спасибо отозвавшимся.

[Хорхе]

Да вроде никаких сложностей быть не должно, мат. ожидание суммы равно сумме сами знаете чего, и незаисимость совсем не нужна.

[faruk]

Цитата:

Владелец сезонного железнодорожного билета обычно выезжает из дома между 7.30 и 8.00 утра; поездка длится от 20 до 30 минут. Предполагается, что время выхода и продолжительность поездки представляют собой независимые случайные величины, равномерно распределенные в соответствующих интервалах. Имеются два поезда, которыми он может ехать: первый отправляется в 8.05 и идет 35 минут, второй в 8.25 и идет 30 минут. Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов, определить среднее время его прибытия к месту назначения.

Если он выезжает в 8:00 и едет 30 минут, то он не успевает и на второй поезд.

Всё ли в порядке с вероятностным пространством в этой задаче?

[final_sleep]

Хорхе
Хм...
То есть я найдя мат. ожидание, нахожу среднее время прибытия, на станцию. Каким образом из этой информации я могу получить среднее время прибытия в пункт назначения? Я пока не улавливаю к сожалению.
К слову $M_{x+y}=M_{x}+M_{y}=490$, что означает, что уважаемый гражданин прибыл на свою станцию в 8.10 в "среднем случае".

-- 28.11.2011, 01:31 --

faruk, да.
Я так понимаю что это нужно учесть в ответе. Хотя не понимаю как. По логике если господин выходит в 8.00 и едет 30 минут, то он вообще не успевает ни на одну из электричек. Это один из тех пунктов из-за которых я не втыкаю еще.

[--mS--]

Почему не взять и не записать дословно всё, что дано в задаче? И ещё так же дословно всё, что требуется найти?

Время выхода $\xi$ имеет равномерное распределение на $[7.5, \, 8]$, время пути до станции $\eta$ имеет равномерное распределение на $[1/3; 1/2]$ часа. Если $\xi+\eta < 8\frac{1}{12}$, то $\zeta=8\frac23$. Если $8\frac{1}{12}\leq\xi+\eta < 8\frac{5}{12}$, то $\zeta=8\frac{11}{12}$. Требуется найти УМО дискретной случайной величины $\zeta$ с двумя значениями - девять без двадцати и девять без пяти минут - по событию $\xi+\eta < 8\frac{5}{12}$:

$$\mathsf E(\zeta ~|~\xi+\eta < 8\frac{5}{12})\;=\;?$$

[final_sleep]

Честно говоря, я не понимаю.
Вот так верно:
$E(\zeta \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})=E(8\frac{2}{3} \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})+E(8\frac{11}{12} \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})$?
Если нет то объясните пожалуйста, я в УМО не могу разобраться пока что.

[--mS--]

final_sleep в сообщении #509118 писал(а):

Вот так верно:
$E(\zeta \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})=E(8\frac{2}{3} \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})+E(8\frac{11}{12} \ | \ \xi+\eta<8\frac{5}{12})$?
Если нет то объясните пожалуйста, я в УМО не могу разобраться пока что.

Нет, разумеется. Вы никак не учли, в каких случаях время прибытия равняется $8\frac{2}{3}$ или $8\frac{11}{12}$.

В УМО (вообще) тут и не нужно разбираться, здесь простейшее УМО по событию: ищете условные вероятности $\mathsf P\left(\zeta = 8\frac{2}{3}\bigm|\xi+\eta<8\frac{5}{12}\right)$ и $\mathsf P\left(\zeta = 8\frac{11}{12}\bigm|\xi+\eta<8\frac{5}{12}\right)$ и вычисляете с ними математическое ожидание, умножая их на значения:

$$E\left(\zeta \bigm| \xi+\eta<8\tfrac{5}{12}\right)=8\tfrac{2}{3}\,\cdot \,\mathsf P\left(\zeta=8\tfrac{2}{3} \bigm| \xi+\eta<8\tfrac{5}{12}\right)\,+\,8\tfrac{11}{12}\,\cdot \,\mathsf P\left(\zeta=8\tfrac{11}{12} \bigm| \xi+\eta<8\tfrac{5}{12}\right).$$

[faruk]

Мне по-прежнему непонятно, что делать с теми случаями (4,17%), когда пассажир не успевает на поезд 8:25. Просто игнорировать? Как в такой ситуации поступают профессиональные, но честные математики?

[--mS--]

faruk в сообщении #509216 писал(а):

Мне по-прежнему непонятно, что делать с теми случаями (4,17%), когда пассажир не успевает на поезд 8:25. Просто игнорировать? Как в такой ситуации поступают профессиональные, но честные математики?

Профессиональные, но честные математики ищут условные вероятности и условное математическое ожидание, как требуется по условию задачи. И читают предыдущие сообщения.

[final_sleep]

А мне увы непонятно как здесь посчитать условную вероятность. Господа, просьба не кидать камень, ибо я начал пару дней назад этим заниматься и немного натолкнуть на мысли.

[_hum_]

final_sleep в сообщении #509409 писал(а):

А мне увы непонятно как здесь посчитать условную вероятность.

Да напрямую по формуле

$$P(A|B) = \frac{P(A B)}{P(B)}.$$

faruk в сообщении #509216 писал(а):

Мне по-прежнему непонятно, что делать с теми случаями (4,17%), когда пассажир не успевает на поезд 8:25. Просто игнорировать? Как в такой ситуации поступают профессиональные, но честные математики?

В задаче по сути спрашивается следующее:
если рассматривать лишь те дни, когда человек успевает на какой-нибудь поезд, сколько в среднем в такие дни занимает его дорога до места назначения.
Вот это "если" (в оригинале "Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов") и обслуживается в тервере понятиями условных вероятностей и матожиданий.