Корреляция

[ИСН]

Может, всё-таки $X_1$ и $X_2$?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508147 писал(а):

Может, всё-таки $X_1$ и $X_2$?

Точно, спасибо, опять невнимательность у меня..

$\rho=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}=\dfrac{6DX_1+ 7DY_1}{\sqrt{DX\cdot DY}}$

$DX=D(3X_1+X_2+1)=\frac{1}{9}DX_1+DX_2$

$DY=D(2X_1+7X_2)=\frac{1}{4}DX_1+\frac{1}{49}DX_2$

$\rho=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}=\dfrac{6DX_1+ 7DY_1}{\sqrt{(\frac{1}{9}DX_1+DX_2)(\frac{1}{4}DX_1+\frac{1}{49}DX_2)}}}$

-- Сб ноя 26, 2011 01:29:05 --

По-моему, тут уже негде ошибиться в первом примере было...Спасибо за помощь!

А во втором...

$D(\operatorname{sign} X)= E(\operatorname{sign} X)^2-E(\operatorname{sign} X)$

$E(\operatorname{sign} X)=E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}yf(y)dy$

Теперь нам нужно знать плотность $f(y)$

Как узнать эту плотность?

[ИСН]

Теперь вот это: $DX=D(3X_1+X_2+1)=\frac{1}{9}DX_1+DX_2$ - откуда?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508239 писал(а):

Теперь вот это: $DX=D(3X_1+X_2+1)=\frac{1}{9}DX_1+DX_2$ - откуда?

Вот по этим свойствам:

$D(X + Y)= D(X) + D(Y) + 2\operatorname{cov}(X, Y)$

$D\left(aX\right) = a^2D(X)$

-- Сб ноя 26, 2011 15:58:13 --

Ах, да, точно!

$DX=D(3X_1+X_2+1)={9}DX_1+DX_2$

$DY=D(2X_1+7X_2)=4DX_1+49DX_2$

[ИСН]

То-то же.
Вроде всё, если там в условии не было больше никаких слов (например, что дисперсии X1 и X2 равны). Не было? Тогда ладно.
Теперь что там со вторым?

[ИСН]

Чтобы придать нужное направление мыслям: как бы Вы нашли, скажем, $E(X^2)$?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508372 писал(а):

То-то же.
Вроде всё, если там в условии не было больше никаких слов (например, что дисперсии X1 и X2 равны). Не было? Тогда ладно.
Теперь что там со вторым?

Не было. Спасибо!!!

(Оффтоп)

Уж слишком много ошибок было на ровном месте, спасибо за терпение!

-- Сб ноя 26, 2011 21:18:16 --

ИСН в сообщении #508443 писал(а):

Чтобы придать нужное направление мыслям: как бы Вы нашли, скажем, $E(X^2)$?

Вот так

$E(X^2)=\int\limits_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx=C\int\limits_{-\infty}^\infty x^2 e^{ -\frac{x^2}{2} }dx$

-- Сб ноя 26, 2011 21:51:56 --

Такой интеграл не берется, значит нужно действовать иначе, чем в лоб.

[--mS--]

Пока ИСН спит, я за него.

freedom_of_heart в сообщении #508486 писал(а):

Такой интеграл не берется, значит нужно действовать иначе, чем в лоб.

Чего это он не берётся? Впрочем, это другой вопрос. А как бы Вы нашли, скажем $\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)$?

[ИСН]

freedom_of_heart в сообщении #508486 писал(а):

Такой интеграл не берется, значит нужно действовать иначе, чем в лоб.

Во-первых, может быть, берётся; а во-вторых, Вам ведь такой и не надо! А какой надо?

[freedom_of_heart]

Да, может берется, но способ не придумать мне, ну ладно, я попробую тогда сосчитать

$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits_{-\infty}^{0}(-1)xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}(+1)x^2e^{-x^2/2}dx=$

Теперь, учитывая

$-\int_a^bf(x)dx=\int_b^af(x)dx$

$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits^{-\infty}_{0}xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}x^2e^{-x^2/2}dx$

Из-за четности получаем $\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=2C\int\limits_{0}^{\infty}x^2e^{-x^2/2}dx$

Кстати!!! Поняла у $EX^2$ можно в таком же виде переписать, сославшись на четность, а именно на это св-во:

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$

Таким образом $\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=\mathsf E(X^2)$

(Оффтоп)

Попытка записать плотность увенчалась тем, что при $x<0$ она отрицательна, чего быть не может.

Плотность $f(x,\operatorname{sign}x)=f(x)f(\operatorname{sign}x)= \begin{cases} \ \ e^{-x^2/2}, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -e^{-x^2/2}, & x < 0 \end{cases}$

$y=\operatorname{sgn} x = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

-- Вс ноя 27, 2011 02:14:08 --

Интуиция подсказывает, что $\mathsf E(\operatorname{sign} X)^2=1$ , чтобы сократилось кое-что и тогда ковариация равна нулю и корреляция -- тоже.

Правильно?

Только все равно не понятно -- как это доказать.

Но попробую начать

$\mathsf E(\operatorname{sign} X)^2=\int\limits_{-\infty}^{0}x^2(-1)dx+\int\limits_{0}^{\infty}x^2(+1)dx=\text{тот же трюк}=2\int\limits_{0}^{\infty}x^2dx$

Но он на этот раз расходится((

[ИСН]

Цитата:

$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits_{-\infty}^{0}(-1)xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}(+1)x^2e^{-x^2/2}dx=$

Вот эту строчку ещё раз, медленно, особенно следя за всеми маленькими буковками между $\int$ и $e$.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #508642 писал(а):

Цитата:

$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits_{-\infty}^{0}(-1)xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}(+1)x^2e^{-x^2/2}dx=$

Вот эту строчку ещё раз, медленно, особенно следя за всеми маленькими буковками между $\int$ и $e$.

Дело в том, что у меня не получается записать плотность случайной величины $\operatorname{sign} X$, видимо поэтому неправильно из-за этого ошибки, видимо

-- Вс ноя 27, 2011 02:28:08 --

$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits_{-\infty}^{0}(\operatorname{sign}x)xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}(\operatorname{sign}x)x^2e^{-x^2/2}dx=$

[ИСН]

Слова "плотность случайной величины $\operatorname{sign} X$" запишите на бумажке и сожгите. Лучше раза два или три. Нет её у Вас и не будет. Нет таких слов.
Теперь внимательно ещё раз с самого начала. Но внимательно. Когда я привёл пример про $E(X^2)$, Вы же его сразу нашли? (ну, там интеграл взять оставалось, но это дело техники.) И что? Чья плотность понадобилась для этого? Плотность X и больше ничья. Правда ведь?
Ну вот с этим знанием - ещё раз, пожалуйста $\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)$, только теперь очень-очень внимательно следя за этими противными маленькими буковками между закрывающей скобкой в выражении $(\operatorname{sign}x)$ и буквой $e$.
Очень-очень.

[freedom_of_heart]

$$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=C\int\limits_{-\infty}^{0}(\operatorname{sign}x)xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}(\operatorname{sign}x)xe^{-x^2/2}dx=$$

$$=-C\int\limits_{-\infty}^{0}xe^{-x^2/2}dx+C\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-x^2/2}dx$$

Рассмотрим интеграл $-C\int\limits_{-\infty}^{0}xe^{-x^2/2}dx$

Замена $t=-x$; $dx=-dt$ ; $+\infty<t<0$

$-C\int\limits_{-\infty}^{0}xe^{-x^2/2}dx=-C\int\limits_{\infty}^{0}te^{-t^2/2}dx=C\int\limits_0^{\infty}te^{-t^2/2}dx$

Таким образом

-- Вс ноя 27, 2011 03:13:27 --

$$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=2C\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-x^2/2}dx=...=2C$$

[--mS--]

freedom_of_heart в сообщении #508646 писал(а):

Дело в том, что у меня не получается записать плотность случайной величины $\operatorname{sign} X$,

Можно я со стороны вмешаюсь? Вы в соседней ветке раза три уже согласились ещё вчера (вчера!), что $\operatorname{sign} X$ имеет дискретное распределение! О каких плотностях всё время идёт речь?

freedom_of_heart в сообщении #508654 писал(а):

$$\mathsf E(X\cdot \operatorname{sign} X)=2C\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-x^2/2}dx=...=2C$$

Верно, а число $C$ Вам должно быть известно.