Задача на правдоподобие и функцию распределения

[integral2009]

$X_1;X_2;....;X_n$ - выборка из распределения с

$$f_X(x) = \left\{\begin{matrix} \lambda \,e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$\lambda=\dfrac{1}{\theta}$.

1) Построить функцию правдоподобия $L(\theta;X_1;X_2;....;X_n)$

Найти оценку $\hat\theta_n$ для $\theta$

2) Найти функцию распределения случайной величины $Y=-3X^2$

1) Вот что сделал, не знаю -- правильно?

$$L(\theta;X_1;X_2;....;X_n)=\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {1}{\theta} \prod_{i=1}^n\,e^{-\frac {x_i}{\theta}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$$\ln{L}=\left\{\begin{matrix} \frac{\ln{\theta}}{\theta} \sum_{i=1}^n\,{ {x_i}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$$\dfrac{dLn L}{d\theta}=\frac{1-\ln{\theta}}{\theta^2} \sum_{i=1}^n\,{ {x_i}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$1-\ln{\theta}=0$ => $\theta=e$

Так?

2) А с чего следует второй пункт начать делать?

[_hum_]

Посмотрите внимательнее на переход к логарифму.

[integral2009]

_hum_ в сообщении #507941 писал(а):

Посмотрите внимательнее на переход к логарифму.

Спасибо, нашел ошибки.

$$L(\theta;X_1;X_2;....;X_n)=\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {1}{\theta} \prod_{i=1}^n\,e^{-\frac {x_i}{\theta}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$$\ln{L}=\left\{\begin{matrix} \ln{\frac{1}{\theta}}- {\frac{1}{\theta}} \cdot\sum_{i=1}^n\,{ {x_i}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$\dfrac{dLn L}{d\theta}=\dfrac{-1}{\theta}+\dfrac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n\,{ {x_i}}$ при $x\ge 0$

Правильно? Если да, как дальше ?

[_hum_]

Со знаками при переходе к логарифму все в порядке?

[integral2009]

Ок, да, знак перепутал, уже исправил, $\hat\theta=1$

Правильно?

А как найти функцию распределения случайной величины $Y=-3X^2$

($X$ по показательному закону)

-- Пт ноя 25, 2011 20:10:41 --

$$F_X(x) = p(X<x)= \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

$$F_X(x)=p(-3X^2<y)=p(X^2<-\frac{y}3)=$$

$p(X^2<-\frac{y}3)=p(-\sqrt{-\frac{y}3}<X<0)=0$

$p(X^2<-\frac{y}3)=p(X<\sqrt{-\frac{y}3})=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda \sqrt{-\frac{y}3}}&,\; y \le 0, \\ 0 &,\; y > 0. \end{matrix}\right.$

Так?!

[_hum_]

integral2009 в сообщении #507988 писал(а):

Правильно?

Нет.

integral2009 в сообщении #507988 писал(а):

Так?!

Направление правильное (только зачем нулю приравнивать - непонятно). Но с неравенствами у вас проблемы.

[integral2009]

_hum_ в сообщении #508025 писал(а):

Направление правильное (только зачем нулю приравнивать - непонятно). Но с неравенствами у вас проблемы.

$X^2<-\frac{y}{3}$ => $|X|<\sqrt{-\frac{y}{3}}$ =>

$-\sqrt{-\frac{y}{3}}<X<\sqrt{-\frac{y}{3}}$

Это тоже самое, что два неравенства:

$-\sqrt{-\frac{y}{3}}<X<0$ (при $x<0$ у нас $F_X(x)=0$)

$0\le X<\sqrt{-\frac{y}{3}}$

Где тут ошибка? Я пока что не нашел.

А что там неправильно с функцией правдоподобия?

[integral2009]

Еще раз проверил, опять не нашел ошибок...

[Хорхе]

Третья строчка снизу.

$X=1$, $y=1$.

$-3X^2<y$ выполнено. $X^2< -y/3$ не выполнено.

[integral2009]

Хорхе в сообщении #508366 писал(а):

Третья строчка снизу.

$X=1$, $y=1$.

$-3X^2<y$ выполнено. $X^2< -y/3$ не выполнено.

Спасибо, действительно, забыл разверуть знак! Вот так правильно?

$$F_Y(y)=p(-3X^2<y)=p(X^2>-\frac{y}3)=1-p(X^2<-\frac{y}3)=$$

Возможны 2 случая:

1) $p(X^2<-\frac{y}3)=p(-\sqrt{-\frac{y}3}<X<0)=0$

2) $p(X^2<-\frac{y}3)=p(X<\sqrt{-\frac{y}3})=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda \sqrt{-\frac{y}3}}&,\; y \le 0, \\ 0 &,\; y > 0. \end{matrix}\right.$


$F_Y(y)=1-p(X^2<-\frac{y}3)=1-p(X<\sqrt{-\frac{y}3})=\left\{\begin{matrix} e^{-\lambda \sqrt{-\frac{y}3}}&,\; y \le 0, \\ 1 &,\; y > 0. \end{matrix}\right.$

[Хорхе]

Теперь по крайней мере на функцию распределения похоже. Наверное, правильно.

[integral2009]

Хорхе в сообщении #508385 писал(а):

Теперь по крайней мере на функцию распределения похоже. Наверное, правильно.

Спасибо!

-- Сб ноя 26, 2011 17:25:25 --

Кстати, оценка, полученная для параметра $\theta$ с помощью функции правдоподобия, получилась все-таки такая $\hat\theta= \sum_{i=1}^n\,{ {x_i}} $
Похоже на правду?!

[Хорхе]

Не похоже, куда-то исчезло деление на $n$.

[integral2009]

Хорхе в сообщении #508403 писал(а):

Не похоже, куда-то исчезло деление на $n$.

Ммм, дело в том, что ему "неоткуда взяться", вроде как...

[Хорхе]

Напишите правильно функцию правдоподобия, и ему сразу будет откуда взяться.