Интеграл и формальное применение формулы Ньютона-Нейбница

[Ёж]

В книжке написано:

Рассмотрим интеграл $\int\limit_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ . Взяв в качестве первообразной подынтегральной функции $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ функцию $F(x)=\sqrt{x}$ и формально применив формулу Ньютона-Лейбница, получим $\int\limit_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=1.$ Однако этот результат неверен, так как функция $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ неограниченна на отрезке $[0,1]$, и, следовательно, интеграл $\int\limit_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ не существует.

Т.е., чтобы вычислить данный интеграл нужно рассмотреть его как несобственный интеграл 2 рода, или все таки можно и формально применить формулу Ньютона-Лейбница?

[ewert]

Ёж в сообщении #507783 писал(а):

чтобы вычислить данный интеграл нужно рассмотреть его как несобственный интеграл 2 рода, или все таки можно и формально применить формулу Ньютона-Лейбница?

Да, нужно как несобственный. После чего вполне можно (и нужно) формально применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственно что нужно -- отдавать себе отчёт в том, что в записи $\Big|_0^1$ нижний значок подразумевает не формальную подстановку нуля, а нахождение предела в нуле.

[Ёж]

Тогда и интеграл
$\int\limit_0^1 \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx$
будет несобственным, т.е. также формально нельзя применять формулу Ньютона-Лейбница?

[ewert]

Будет.

[Legioner93]

Ёж в сообщении #507783 писал(а):

интеграл $\int\limit_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ не существует.

Да ладно!

[ewert]

Legioner93 в сообщении #508056 писал(а):

Да ладно!

Тем не менее -- он именно не существует. Речь ведь об интеграле в смысле Римана.