Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении

[xmaister]

Помогите доказать, что для любого непрерывного отображения $f: X\to Y$ прообразы борелевских множеств из $Y$ будут борелевскими множествами в $X$.

[Padawan]

Для прообразов легко. А вот Вы для образов попробуйте доказать.

[Oleg Zubelevich]

А разве для образов это верно?

-- Чт ноя 10, 2011 20:28:59 --

xmaister
Борелевские множества получаются из открытых с помощью счетных объединений, дополнений, пересечений. Прообраз открытого множества открыт. Смотрите как прообраз на перечисленные операции действует.

[xmaister]

Oleg Zubelevich
Мне кажется это неверно. Семейство борелевских нужно определять по трансфинитной индукции. $\mathcal{B}_0$- дополнение открытых и счётные объединения открытых $\mathcal{B}_1$- дополнение множеств семейства $\mathcal{B}_0$ и их счётные объединения. Тогда $\mathcal{L}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}\mathcal{B}_{\alpha}$
$\alpha$- ординал.

[Хорхе]

Образ $G_\delta$ будет борелевским, но произвольного борелевского, вообще говоря, нет. Образы борелевских множеств -- аналитические множества (множества Суслина).

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #502198 писал(а):

А разве для образов это верно?

Нет, неверно. Я пошутил.

Хорхе в сообщении #502361 писал(а):

Образ $G_\delta$ или $F_\sigma$ будет борелевским, но произвольного борелевского, вообще говоря, нет. Образы борелевских множеств -- аналитические множества (множества Суслина).

Образ $G_\delta$ не будет борелевским. Суслинские множества можно охарактеризовать как непрерывные образы множества иррациональных чисел, а оно $G_\delta$.

[Хорхе]

Значит, $F_\sigma$

Битовую информацию всегда очень сложно запомнить.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #502359 писал(а):

Oleg Zubelevich
Мне кажется это неверно. Семейство борелевских нужно определять по трансфинитной индукции. $\mathcal{B}_0$- дополнение открытых и счётные объединения открытых $\mathcal{B}_1$- дополнение множеств семейства $\mathcal{B}_0$ и их счётные объединения. Тогда $\mathcal{L}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}\mathcal{B}_{\alpha}$
$\alpha$- ординал.

Что неверно? Вы формализовали то, что я сказал. Я только не понимаю теперь с чем трудности возникают
$f^{-1}\bigcap_{i\in\mathcal I}A_i=\bigcap_{i\in\mathcal I}f^{-1}A_i$ и тоже самое с объединениями, а еще есть правила де Моргана, а еще прообраз открытого множества открыт. Разве этого не достаточно?

[xmaister]

Oleg Zubelevich,
Мне показалось, что Вы описали только семейство $\mathcal{B}_0$.

Oleg Zubelevich в сообщении #502379 писал(а):

Я только не понимаю теперь с чем трудности возникают

Теперь, когда разобрался, проблем никаких нет.