2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение10.11.2011, 18:56 
Аватара пользователя
Помогите доказать, что для любого непрерывного отображения $f: X\to Y$ прообразы борелевских множеств из $Y$ будут борелевскими множествами в $X$.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение10.11.2011, 20:04 
Для прообразов легко. А вот Вы для образов попробуйте доказать.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение10.11.2011, 20:20 
А разве для образов это верно?

-- Чт ноя 10, 2011 20:28:59 --

xmaister
Борелевские множества получаются из открытых с помощью счетных объединений, дополнений, пересечений. Прообраз открытого множества открыт. Смотрите как прообраз на перечисленные операции действует.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 10:14 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich
Мне кажется это неверно. Семейство борелевских нужно определять по трансфинитной индукции. $\mathcal{B}_0$- дополнение открытых и счётные объединения открытых $\mathcal{B}_1$- дополнение множеств семейства $\mathcal{B}_0$ и их счётные объединения. Тогда $\mathcal{L}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}\mathcal{B}_{\alpha}$
$\alpha$- ординал.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 10:21 
Аватара пользователя
Образ $G_\delta$ будет борелевским, но произвольного борелевского, вообще говоря, нет. Образы борелевских множеств -- аналитические множества (множества Суслина).

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 10:34 
Oleg Zubelevich в сообщении #502198 писал(а):
А разве для образов это верно?

Нет, неверно. Я пошутил.
Хорхе в сообщении #502361 писал(а):
Образ $G_\delta$ или $F_\sigma$ будет борелевским, но произвольного борелевского, вообще говоря, нет. Образы борелевских множеств -- аналитические множества (множества Суслина).

Образ $G_\delta$ не будет борелевским. Суслинские множества можно охарактеризовать как непрерывные образы множества иррациональных чисел, а оно $G_\delta$.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 11:04 
Аватара пользователя
Значит, $F_\sigma$ :-)

Битовую информацию всегда очень сложно запомнить.

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 11:23 
xmaister в сообщении #502359 писал(а):
Oleg Zubelevich
Мне кажется это неверно. Семейство борелевских нужно определять по трансфинитной индукции. $\mathcal{B}_0$- дополнение открытых и счётные объединения открытых $\mathcal{B}_1$- дополнение множеств семейства $\mathcal{B}_0$ и их счётные объединения. Тогда $\mathcal{L}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}\mathcal{B}_{\alpha}$
$\alpha$- ординал.

Что неверно? Вы формализовали то, что я сказал. Я только не понимаю теперь с чем трудности возникают
$f^{-1}\bigcap_{i\in\mathcal I}A_i=\bigcap_{i\in\mathcal I}f^{-1}A_i$ и тоже самое с объединениями, а еще есть правила де Моргана, а еще прообраз открытого множества открыт. Разве этого не достаточно?

 
 
 
 Re: Прообраз борелевских множеств при непрерывном отображении
Сообщение11.11.2011, 11:26 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich,
Мне показалось, что Вы описали только семейство $\mathcal{B}_0$.
Oleg Zubelevich в сообщении #502379 писал(а):
Я только не понимаю теперь с чем трудности возникают

Теперь, когда разобрался, проблем никаких нет.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group