Сходимость почти наверное случ. величин

[ShMaxG]

Всем доброго дня.

Маленький вопросик возник, связанный со сходимостью почти наверное случайных величин.

Определение. Последовательность $\[\left\{ {{\xi _n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]$ сходится почти наверное к случайной величине $\[\xi \]$, если $\[{\bf{P}}\left( {\omega :\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\xi _n}\left( \omega \right) = \xi \left( \omega \right)} \right) = 1\]$.

Причем это эквивалентно тому, что

$\[\forall \varepsilon > 0{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\bf{P}}\left( {\omega :\mathop {\sup }\limits_{n \ge N} \left| {{\xi _n}\left( \omega \right) - \xi \left( \omega \right)} \right| > \varepsilon } \right) = 0\]$.

Вопрос: действительно ли необходимо знать утройство отображения $\omega \mapsto {\xi _n}\left( \omega \right)$, чтобы определить сходимость? Если мы пользуемся определением, то, как я понимаю, да. А если мы пользуемся эквивалентным определению условию, то нет, не обязательно? Потому что это эквивалентное условие - то же самое, что

$\[\forall \varepsilon > 0{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\bf{P}}\left( {\mathop {\sup }\limits_{n \ge N} \left| {{\xi _n} - \xi } \right| > \varepsilon } \right) = 0\]$

И достаточно знать только распределения $\[{\xi _n}\]$ и $\[\xi \]$?

[Хорхе]

ShMaxG в сообщении #501987 писал(а):

И достаточно знать только распределения $\[{\xi _n}\]$ и $\[\xi \]$?

Нет, конечно. Супремум-то внутри стоит, а не снаружи. То есть надо знать совместное распределение $\xi, \xi_N,\xi_{N+1},\dots$. (Вернее, граничное поведение этого совместного распределения.) Собственно, в первом определении надо знать то же самое.

[ShMaxG]

Хорхе в сообщении #501991 писал(а):

То есть надо знать совместное распределение $\xi, \xi_N,\xi_{N+1},\dots$.

Пусть такое совместное распределение задано. Т.е., как я понимаю, заданы вероятности

$\[{\bf{P}}\left( {\left| {{\xi _N} - \xi } \right| < {x_N},\left| {{\xi _{N + 1}} - \xi } \right| < {x_{N + 1}},...} \right)\]$

для произвольного набора $ \[\left( {{x_N},{x_{N + 1}},...} \right)\]$.

В этом случае информации достаточно, чтобы проверить, сходится ли п.н. $\[\left\{ {{\xi _n}} \right\}\] $ к $\[\xi \]$?

[Хорхе]

Вообще совместное распределение задает немного больше, но в принципе да, знать эти вероятности достаточно для проверки сходимости п.н.

[ShMaxG]

Ясно, спасибо!