равномерно выпуклые пространства

[Oleg Zubelevich]

Определение. Нормированное пространство $(B,\|\cdot\|)$ назовем равномерно выпуклым, если для любого $\sigma>0$ существует $\delta>0$ такое, что если $\|x\|\le 1$ и $\|y\|\le 1,\quad \|x-y\|\ge\sigma,$ то $\|x+y\|\le 2(1-\delta)$.

Доказать следующее утверждение. Пусть $(B,\|\cdot\|)$ -- равномерно выпуклое нормированное пространство. Предположим, что $x_n\to x$ слабо в $B$ и $\|x_n\|\to \|x\|$. Тогда $\|x_n-x\|\to 0$

[Хорхе]

Банах sucks Сакс?

[Oleg Zubelevich]

В таком ключе я как-то не думал. Хорошо, извлекли подпоследовательность, от которой средние сильно сходятся и что? Пространство кстати не банахово.

[Sinus]

От противного. Пусть $x_{n_k}$ - такая подпоследовательность, что $||x_{n_k}-x||>\sigma$, $f \in B*$ - такой функционал, что $||f||=1$, $f(x)=||x||$. Тогда должно быть $f(x_{n_k}) \to ||x||$ и $f(x+x_{n_k}) \to 2||x||$. Но $f(x+x_{n_k}) \leqslant ||x+x_{n_k}|| \le 2(1-\delta) \max[||x||,||x_{n_k}||]$, и $\overline {\lim } f(x+x_{n_k}) \le 2(1-\delta)||x||$.

[Хорхе]

Да не, я на самом деле о лемме Мазура подумал, а написал Банах Сакса. Но, кстати, не обратил внимание, что банаховости нет.

-- Ср ноя 09, 2011 23:40:56 --

Sinus в сообщении #501773 писал(а):

, $f \in B^*$ - такой функционал, что $||f||=1$, $f(x)=||x||$.

Мне вот тут сказали, что банаховости нет, а почему такой функционал найдется?

-- Ср ноя 09, 2011 23:48:18 --

Туплю: если он на пополнении непрерывен, то он и на $B$ непрерывен.

[Sinus]

Хорхе в сообщении #501777 писал(а):

...
Мне вот тут сказали, что банаховости нет, а почему такой функционал найдется?
...

По теореме Хана-Банаха, которая верна не только для полных пространств

[Oleg Zubelevich]

Да, основной инградиент это Хан-Банах post422210.html#p422210 У меня Хан-Банах используется в виде изометричности вложения $B\subset B''$

[Хорхе]

На всякий случай напишу через лемму Мазура (для полного):

От противного. Пусть $\|x_n-x\|>\varepsilon$ для всех $n$ (если что, перейдем к подпоследовательности). Далее, имеем $\sum_{k= m}^{n_m} \alpha_{k\,m}x_{k}\to x,\ m\to \infty$. В силу равномерной выпуклости $\|\sum_{k= m}^{n_m} \alpha_{k\,m}x_{k}+x\|\le 2(1-\delta)$, а в силу неравенства треугольника $\|\sum_{k= m}^{n_m} \alpha_{k\,m}x_{k}+x\|\ge 2\|x\| - \|\sum_{k= m}^{n_m} \alpha_{k\,m}x_{k}-x\|$, откуда $\|\sum_{k= m}^{n_m} \alpha_{k\,m}x_{k}-x\|\ge 2\delta$, противоречие.

[Oleg Zubelevich]

Зато мое доказательство самое длинное

[Хорхе]

Хотя, думаю, лемма Мазура должна быть верна и для неполного. Надо вспомнить, как доказывается.

[Oleg Zubelevich]

А для теоремы Мазура полнота и не нужна Иосида Функциональный Анализ

[Хорхе]

Да-да, не нужна, она через теорему ХБ и доказывается, вот вспоминаю как.

-- Чт ноя 10, 2011 00:33:39 --

Ну да, вспомнил: достаточно доказать, что $x\in\overline{\mathrm{conv}\{x_n,n\ge 1\}}$, но если это не так, то они благодаря ХБ разделяются непрерывным функционалом, противоречие.