Найти углы, под которыми пересекаются линии

[spaits]

Для второй точки нет рациональных значений $y_2$, так как выражение под квадратным корнем отрицательно.
$6a^2-1-2a\cdot \sqrt{9a^2+1} < 6a^2-1-6a^2 < -1$.
Для третьей точки завтра посмотрю. Эх, ночь.

[Алексей К.]

spaits в сообщении #500957 писал(а):

выражение под квадратным корнем отрицательно.

Не всегда:

$$y_{2}^2=\frac{5a+\sqrt{9a^2+1}}{-3a-\sqrt{9a^2+1}}\stackrel{{\color{blue}a=-1}}{\text{\Large\bf=}}\frac{\overbrace{-5+\sqrt{10}}^{<0}}{\underbrace{3-\sqrt{10}}_{<0}}>0$$

[spaits]

Да, Вы правы. Это неравенство выполняется только для положительных $a$.
Я построила графики функций для положительного $a$, получились три точки пересечения: $(x_1;y_1), (x_3;y_3), (x_3;-y_3)$.
Для отрицательных $a$ также три точки пересечения: $(x_1;y_1), (x_2;y_2), (x_3;-y_3)$.
При $a=0$ окружность, определяемая первым уравнением, вырождается в точку $(0;0)$, а вторая функция не определена при $x=0$, и не имеет смысла говорить о точке их пересечения, так как ее нет.
К сожалению, и сегодня у меня не было времени дорешать задачу до конца.

[spaits]

При любом $a$, кроме нуля (где нет решения) три точки пересечения кривых. В точке пересечения $(0;0)$ я в одном их предыдущих сообщений довела решение до конца, в двух других точках углы пересечения кривых одинаковы, формула вычисления тангенса угла приведена топикстартером в начале темы. Координаты точек пересечения вычислены. Ошибок нет. К сожалению, мне не удалось упростить сложное выражение в ответе.