Геометрическое задание (равнобедренный треугольник)

[BENEDIKT]

Собственно, требуется доказать, что у равнобедренного треугольника ABC высота BD, опущенная на основание AC, является медианой и биссектрисой.
Мои мысли на этот счёт.
Поскольку высота есть перпендикуляр, она пересекает AC под углом 90 градусов. Значит, углы ADB и CDB равны. Но как доказать равноудалённость от высоты боковых сторон треугольника? А также вершин при основании?
Имеем также равные друг другу углы DAB и DCB (т. к. это углы при основании равнобедр-го треуг-ка ABC).
Возможно, необходимо доказать равенство "малых" треугольников ABD и CBD, на которые BD рабивает ABC и от этого равенства отталкиваться? Но как это сделать, если известно лишь о равенстве углов ADB и CDB, углов DAB и DCB, а также сторон AB и BC, при том, что BD является общей для ABD и CBD стороной?
Хотелось бы узнать, с чего можно начать, от чего оттолкнуться.

[Someone]

Какие-то признаки равенства прямоугольных треугольников были...

[BENEDIKT]

Пардон, я их не знаю. Нельзя ли доказать, используя общие признаки равенства треугольников, свойства медианы равнобедренного трегуольника? Задание отнесено к разделу "Третий признак равенства треугольников" (по 3-м сторонам).

[Someone]

Ну, значит, к нему и сводите. Вы про прямоугольные треугольники что-нибудь уже знаете, кроме того, что там один угол прямой?

[BVR]

Вообще-то достаточно открыть любой школьный учебник учебник за 7-й класс и там после первого (а иногда после второго) признака равенства треугольников идут свойства равнобедренного треугольника. Свойства прямоугольных треугольников тут не нужны.

[gris]

С подобными вещами надо быть осторожным. В каждом учебнике своя система аксиом и теорем, своя последовательность. Даже в школьных учебниках.

Например, у Погорелова такая последовательность: 1,2 признак равенства, свойства углов при основании равнобедренного треугольника, свойство медианы равнобедренного треуольника, третий признак. Прямоугольные треугольники гораздо позже, и там при доказательстве признаков используется сумма углов треугольника.

Поэтому теорему о том, что высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой, можно доказать от противного. Проведём к основанию медиану. Она является высотой, а перед этим у нас была теорема о единственности перпендикуляра из точки на прямую.

В других курсах последовательность теорем можен немного отличаться и доказательство может быть немного другим.

[Shadow]

В любом случае можно пользовать свойство: углы при основании равны. Прямые углы тоже равны. Т.е. биссектриса легко доказывается. Тогда уж лучше второй признак.....а обезательно третий надо использовать?

[gris]

Биссектриса доказывается по второму признаку. А вот с высотой не получится. Никакой признак там применить не удасться. Сумму углов треугольника-то нельзя использовать.

[BVR]

Обычно, после второго признака доказывают, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. А затем уже, что медиана явл. высотой и биссектрисой и т. п. третий признак тут не нужен. Его потом доказывают.

[gris]

Правильно. Свойства медианы и биссектрисы доказываются с помощью первого и второго признака соответственно, а с высотой не получается.
Если этим делом занимается абитуриент или пенсионер, то ему проще разобраться с цепочками теорем, предусмотреть все заклинания. А вот среднему семикласснику это сложновато. Для них вообще доказательства от противного не особенно понятны.

[BENEDIKT]

Благодарю всех за помощь!
Приняв во внимание вышеизложенную информацию, попытался выстроить доказательство. Хотелось бы попросить проверить его корректность.
1) Докажем, что высота BD является также медианой.
Доказательство от противного. Проведём к основанию ABC медиану. По теореме о свойствах медианы равнобедр. тр-ка она будет являться и высотой. Покольку через точку B можно провести лишь один отрезок, перпендикулярный AC, медиана равнобедренного треугольника в любом случае будет являться высотой.
2) Рассмотрим треугольники ABD и DBC, на которые BD рабивает треугольник ABC. У них сторона BD - общая, AD=DC (т. к. BD - медиана, следовательно, точка D - срединная т. для AC). Сторона AB=BC, т. к. они являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, ABD=DBC по 3-му признаку.
Т. о. BD делит тр-к ABC на 2 равных треугольника. Поскольку BD проведена от вершины B к середине основания AC под прямым углом, углы при основании ABC равны и расстояние от какой - либо точки AB до некоторой точки BD будет равно расстоянию от соответствующей точки BC к той же точке BD, BD делит угол ABC пополам. Следовательно, BD - биссектриса.

[BVR]

BENEDIKT в сообщении #499869 писал(а):

Следовательно, ABD=DBC по 3-му признаку.

Все, что Вы написали после этих слов - лишнее. Раз треугольники равны, то соответствующие углы в них равны. Откуда и следует, что BD биссектриса.

[gris]

Да, собственно, и рассмотрение треугольников лишнее, ведь медиана является не только высотой, но и биссектрисой, а так как биссектриса угла единственна, то высота является и биссектриссой тоже.

[BENEDIKT]

Ещё раз благодарю всех за помощь!