Решение векторного уравнения

[arseniiv]

Бывает. А во втором случае (в пространстве) у вас два параметра, и там будет как раз плоскость!

[Dosaev]

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения
[x, a] = b, а также его частного решения, коллинеарного вектору [a, b].

Помогите пожалуйста с аналогичной задачей.
Пытался представить вектор $x = \alpha a + \beta b + \gamma [a, b].$ В итоге получил $x = \beta [b, a] + \gamma [[a, b], a].$ И что с этим делать? Можно расписать $[[a, b], a]$ по формуле БАЦ минус ЦАБ, но это ничего не дает... Помогите.

[svv]

Dosaev писал(а):

Можно расписать $[[a, b], a]$ по формуле БАЦ минус ЦАБ, но это ничего не дает...

Как раз дает искомое разложение. Пожалуйста, распишите.

Только вот это $x = \beta [b, a] + \gamma [[a, b], a]$ как получилось? Куда исчезло $\alpha a$?
То, что $\alpha a$ дает нулевой вклад в векторное произведение, отнюдь не значит, что оно не входит в $x$. Скорее наоборот: оно ничему не помешает.

[Dosaev]

Ну вот что у меня получилось:
$\beta [\vec b, \vec a] + \gamma |\vec a|^2 \cdot \vec b = \vec b.$

$\alpha [a, a] = 0 $(по свойству векторного произведения)

И что теперь?

[svv]

1. Если $\alpha$ исчезло, значит на $\alpha$ нет никаких ограничений (это я повторяюсь). Из $\alpha [a, a] = 0$ никак нельзя сделать вывод, что $\alpha=0$, так как $[a, a]=0$ тождественно.
2. А где ЦАБ?

[Dosaev]

$\beta [b, a] - \gamma (a(a,b) - b (a, a)) = b$
$\beta [b, a] - \gamma a(a,b) - b \cdot |a|^2 = b$
a необязательно перпендикулярно b...это я погорячился.

-- Пн окт 31, 2011 20:27:50 --

svv в сообщении #497887 писал(а):

1. Если $\alpha$ исчезло, значит на $\alpha$ нет никаких ограничений

Ну так получается.

[svv]

Dosaev писал(а):

a необязательно перпендикулярно b

Вот! Это очень интересный вопрос.
С одной стороны, мы знаем, что векторное произведение перпендикулярно каждому из векторов, стало быть, из $[x, a]=b$ следует $(a, b)=0$. Подтверждаю, что это правильно.
А с другой стороны, если в задаче даны неперпендикулярные $a$ и $b$ -- что делать? Что это будет означать?

Dosaev писал(а):

$\beta [b, a] - \gamma a(a,b) - b \cdot |a|^2 = b$

Знаки! Правильное раскрытие скобок! (сразу 2 ошибки)
Еще просьбочка: пожалуйста, не пишите $|a|^2$, лучше $(a, a)$.

[Dosaev]

Я дико извиняюсь, но в задачи условием выше дано, что (a, b) = 0.
Тогда получается то что я выше написал, и все равно не понятно что мне с ним делать. Если подставить это равенство вместо b то получится $x = \alpha \vec a + (\gamma - \beta^2) [\vec a, \vec b] + \gamma \beta (\vec a, \vec a) \cdot \vec b.$
То есть получается что вектор х произвоьлно выбирается...

[svv]

Цитата:

Я дико извиняюсь, но в задачи условием выше дано, что (a, b) = 0.

Ну, и ничего страшного.
Вот я чего от Вас хотел. Запомните такой оборот:
"Если из условий задачи следует, что $(a, b)=0$, а в задаче даны $a$ и $b$, не удовлетворяющие этому условию, то решений в этом случае не существует".
То есть составители могли и не упоминать то условие, мы его и так вычислили.

Цитата:

$x = \alpha \vec a + (\gamma - \beta^2) [\vec a, \vec b] + \gamma \beta |\vec a|^2 \cdot \vec b.$

Теперь откуда-то появились $\beta^2$ и $\gamma\beta$.
Давайте внимательно распишем БАЦ минус ЦАБ. Все еще претензии к результату. Помните, что $[p, q]=-[q, p]$.

[Dosaev]

Получается что вектор b коллинеарен вектору [a, b], так из равенства
$\vec b = \beta [b, a] + \gamma (\vec a, \vec a) \vec b$ выражается $\vec b = \frac{[a, b]}{(a, a) -1}.$
м?

Так вот все заново:
$x = \alpha a + \beta b + \gamma [a, b]$

$[\alpha a + \beta b + \gamma [a, b], a] = b$

$\alpha [a, a] + \beta [b, a] + \gamma [[a, b], a] = b$

$-\beta [a, b] - \gamma [a, [a, b]] = b$

$-\beta [a, b] - \gamma(a(a, b) - b (a, a)) = b$

$-\beta [a, b] + \gamma (a, a) b = b$
Откуда $b = \frac {\beta [a,b]}{\gamma(a,a) -1}.$
Вот!

[svv]

Dosaev, Вы молодец. На 99% правильно.
1% такой. Давайте, чтобы не делить на возможный нуль, последнее уравнение осторожно запишем в виде
$(\gamma(a,a)-1)b=\beta[a, b]$

Теперь будем думать.
Может ли это равенство быть обычным равенством двух обыкновенных векторов?
Допустим, $[a,b]$ -- ненулевой. Тогда, конечно, $b$ тоже ненулевой.
Но ведь вектор $[a,b]$ перпендикулярен $b$! А могут ли быть равны друг другу два перпендикулярных вектора, пусть с какими-то коэффициентами?
Есть, правда, одна лазейка, именно в этих коэффициентах... А может, и другая, не в коэффициентах, а в векторах...

Короче говоря, перпендикулярность $[a,b]$ и $b$ перекрывает "широкую столбовую дорогу" и оставляет одну или несколько жалких лазеек. Их и надо перечислить, не упустив ни одной.

Вы можете сказать, чему равны по отдельности левая часть $(\gamma(a,a)-1)b$ и правая часть $\beta[a, b]$?

[Dosaev]

svv в сообщении #498058 писал(а):

Dosaev,
Вы можете сказать, чему равны по отдельности левая часть $(\gamma(a,a)-1)b$ и правая часть $\beta[a, b]$?

ну раз эти векторы перпендикулярны и не равны 0, то они равными никак не могут быть.
Тогда равенство возможно лишь при нулевых коэффициентах данных векторов. Получаем
$\gamma = \frac{1}{(a, a)}$ и $\beta = 0.$
$a \ne 0$ из предыдущей задачи.

[svv]

Правильно!
Итак, $x=\alpha a +\frac 1 {(a, a)} [a, b]$.
Можете проверить для себя, что такой $x$ удовлетворяет уравнению $[x,a]=b$.
Очень хорошо.

Но я напоминаю, что это решение получено в предположении, что $[a,b]$ -- ненулевой вектор.
А теперь пусть $[a,b]=0$. Самое первое следствие: векторы $a$, $b$, $[a,b]$ теперь не образуют базис, и мы уже не можем сказать, что произвольный вектор $x$ можно разложить по этим трем. Этот случай надо рассмотреть особо. Но, может, он совсем простой?

[Dosaev]

Теперь понятно! Спасибо вам огромное, svv!!
Есть еще похожие задачи, думаю возникнут вопросы.

[svv]

Пожалуйста.