Определение условного мат.ожидания

[undeddy]

Пусть заданы случайные величины $\xi$ и $\eta$, $\sigma(\eta)$ - $\sigma$-алгебра, порождённая случайной величиной $\eta$. Тогда условным мат.ожиданием $\xi$ по $\eta$ называется случайная величина $\zeta=E(\xi|\eta)$, удовлетворяющая двум условиям:

$1)$ она измерима относительно $\sigma(\eta)$;
$2)$ $\forall A\in\sigma(\eta)\quad E(\zeta 1_A) = E(\xi 1_A) $

Можно ли последнее условие заменить на
$2)'$ $\forall$ ограниченной борелевской $g\quad E(\zeta g(\eta)) = E(\xi g(\eta)) $ ?

[--mS--]

На всякий случай: ещё должно быть $\mathsf E|\xi|<\infty$.

Да, конечно, эти два условия равносильны: из (2)' понятно, как следует (2), обратно - просто приближаем функцию $g(x)$ простыми.

[Хорхе]

(Оффтоп)

В принципе, конечность не очень обязательна. Например, если $\xi$ положительна, то можно корректно определить $E(\xi|\eta)$ как (конечный или бесконечный) предел монотонной последовательности $E(\xi\wedge n|\eta)$.

[--mS--]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #498020 писал(а):

В принципе, конечность не очень обязательна. Например, если $\xi$ положительна, то можно корректно определить $E(\xi|\eta)$ как (конечный или бесконечный) предел монотонной последовательности $E(\xi\wedge n|\eta)$.

Безусловно. Но судя по используемым обозначениям, вопрос скорее в контексте Боровкова, чем Ширяева.