Реккурентно заданная последовательность

[larsan1]

Дана последовательность, где $k_n$ - n-ый член последовательности, $S_n$-сумма первых n членов данной последовательности,
$k_1=1$
$k_n=\frac 1 {S_{n-1}\cdot n}$;
помогите вычислить предел $S_n$ при n приближенной к бесконечности
есть предположение, что предел будет связан с числом $\pi$ с некоторым целым коофициентом, скорее всего k=2, так должно получиться при правильном решении, от которого я может быть уже ушел =)
пробовал вычислить на паскале, увы значение переменной там ограничены, другими языками не владею =(
кто может плиз вычислите приближенное значение предела, буду благодарен
если кто знает математическое решение, поделитесь, буду дважды благодарен

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Правила также требуют предъявить свои попытки решения.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[Toucan]

Вернул.

[venco]

Пусть есть конечный предел $S_n=Q$. Тогда что можно сказать об ассимптотике $k_i$? Как это можно связать с пределом $S_n$?

[larsan1]

попроще думаю так будет выглядеть:
$S_n=S_{n-1}+\frac 1 {S_{n-1}\cdot n}$ где $S_1=1$
помогите плиз вычислить предел S

[gris]

А разве там не вырисовывается гармонический ряд?
Ну как-нибудь критерий Коши использовать?

[larsan1]

gris в сообщении #498077 писал(а):

А разве там не вырисовывается гармонический ряд?
Ну как-нибудь критерий Коши использовать?

Спасибо за совет =) попробую в гугле поискать =)

[gris]

А чего сразу в гугле? Учебник по матану не подойдёт?
Вроде бы там нет никакого подвоха. Предположим, что предел существует и конечен. Тогда $S_n$ ограничены сверху. Ну и как бы хвост гармонического ряда оказывается ограниченным сверху.
Я вчера, когда Вы ещё в карантине поправлялись, посчитал сумму до статысячного номера, но добрался только до 4 с чем-то. Хотел Ваше два пи превзойти, но логарифм, зараза, такой логарифм. Растёт медленно, ужас. Вот бы оценить, сколько надо взять членов, чтобы к двумпи подобраться. Уж не гугол ли?

[larsan1]

Я тоже до 4 добрался с чем то Я пока в последовательностях не очень силен, в 10-ом классе учусь, поэтому сильно решение не волнует, а вот результат очень важен

[gris]

А что если Вам взять, да делить не на $n$, а на $n^2$. Глядишь, и сходится будет побыстрее. А то ведь Ваша последовательность, по-моему, вовсе и не.
А откуда Вы её взяли? На вид она очень интересная.

[RIP]

$S_n^2=2\ln n+c+O(1/n)$, где $c\approx0.52041$. Так что пару–тройку сотен миллионов членов придётся посчитать.

[larsan1]

Взял я её из физики, там надо период подсчитать, и как раз этот предел будет как коофициент при подсчете периода

-- 01.11.2011, 17:51 --

RIP в сообщении #498132 писал(а):

$S_n^2=2\ln n+c+O(1/n)$, где $c\approx0.52041$. Так что пару–тройку сотен миллионов членов придётся посчитать.

Спасибо за очень интересное решение, постораюсь на паскале прописать =)