Подборка задач

[DjD USB]

1)Доказать что число $111...111$ (всего в записи $243$ единицы) делится на $243$ .
2)На какое максимальное число нулей может оканчиваться,произведение трех(натуральных)чисел,сумма которых равна 407?
Это 2 из 6 задач олиприады которую я писал вчера -) Жду ваших решений

[Sonic86]

1) $10 \equiv 1 \pmod{3^2} \Rightarrow 10^{3^k} \equiv 1 \pmod{3^{k+2}}$ по индукции, поэтому при $k=5$ получаем $10^{3^5} \equiv 1 \mod {3^7}$ и сокращаем на $3^2$.

-- Вс окт 30, 2011 07:45:50 --

2) решил перебором
upd: данное доказательство кривое - ответ неверен.
$x+y+z=407$.
Если только одно число из 3-х делится на $5$, пусть это $x$, то степень пятерки $v_5(x) \leqslant 4$ (иначе $x \geqslant 625$ - невозможно). В этом случае 4 нуля достигаются: $x=5^4=125, y=2^4=16, z=407-x-y$ - получаем 4 нуля. Докажем, что произведение не может оканчиваться на 5 нулей.
Ясно, что на $5$ делится не более 2-х из $x,y,z$, предположим, что есть $2$ переменные, кратные $5$, а именно $x,y$. Тогда неверно, что оба $x,y$ делятся на $10$, иначе $z$ не является четным числом и тогда мы точно не получим 5 нулей (при $x=10x_1, y=10y_1$ имеем $z \equiv 7 \pmod {10}$ и $x_1+y_1 \leqslant 40$ - здесь степень пятерки каждого слагаемого не больше 2-х, а если оба числа делятся на $5$, то сумма степеней пятерки не больше 3-х). Пусть $10 \not | y$ и тогда $y \equiv 5 \pmod{10}$, но тогда $10|x$, иначе снова $z$ нечетно (и мы тем более не получим $5$ нулей), но тогда $z \equiv 2 \pmod{10}$ и значит степень двойки $v_2(z)=1$. В результате $y$ и $z$ дают только множитель $10$в произведении $xyz$ - 1 нуль, и теперь все зависит от $x$, а для $x=10x_1$ получаем $x_1 \leqslant 40$ - не более еще одного нуля.
Так что максимум 4 нуля.

[DjD USB]

В первом я написал что 243 это $3^5$ поэтому сумма цифр должна делится на 243. Это наверно не верно да (((

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #497370 писал(а):

В первом я написал что 243 это $3^5$ поэтому сумма цифр должна делится на 243. Это наверно не верно да (((

Нет такого признака делимости на 243.

[DjD USB]

Ни на 243 я использовал свойство кратности 3

[nnosipov]

DjD USB, напишите своё решением, проверим.

[DjD USB]

243 это $3^5$ поэтому я решил использовать свойство тройки т.е сумма $111....111$(243 штук) должна делится на 243
$1+1+1+...+1=243$ 243 делится на 243 ч.т.д. По моему я ерунду написал. Но если это прокатит будет хорошо,но врятли

-- Вс окт 30, 2011 12:41:06 --

nnosipov ну что ???

[nnosipov]

DjD USB, не прокатит. Вы пытаетесь распространить признак делимости на 3 на случай, когда речь идёт о делимости на 243.

[DjD USB]

-- Вс окт 30, 2011 12:51:06 --

По моему я проиграю (

[Praded]

$\overbrace {111 \cdots 111}^{243}=\frac{\overbrace {999 \cdots 999}^{243}}{9}=\frac{10^{243}-1}{9}=\frac{\left({10^{81\right)}^3}-1}{9}=\frac{\left({10^{81}}-1\right)\left({10^{162}+10^{81}+1}\right)}{9}=\\=\frac{\left({10^{81}}-1\right)3k}{9}=\frac{\left[{\left({10^{27\right)}^3}-1\right]}3k}{9}=\frac{\left({10^{27}}-1\right)\left({10^{54}+10^{27}+1}\right)3k}{9}=\frac{\left({10^{27}}-1\right)9k_1}{9}=\left({10^{27}}-1\right)k_1=\\=\left[{\left({10^9\right)}^3}-1\right]}k_1={\left({10^9}-1\right)\left({10^{18}+10^9+1}\right)k_1}=\left({10^9}-1\right)3k_2=\left[{\left({10^3\right)}^3}-1\right]}3k_2=\\={\left({10^3}-1\right)\left({10^6+10^3+1}\right)3k_2}=\left({10^3}-1\right)9k_3=999\cdot9k_3=37\cdot243k_3.$

[DjD USB]

-- Вс окт 30, 2011 13:56:22 --

А почему заменили $10^{162} +10^{81} +1$ на $3k$

[Praded]

DjD USB в сообщении #497403 писал(а):

А почему заменили на

По признаку делимости на 3. Там получаются числа, состоящие из 3 единичек и нулей.

[DjD USB]

Понял, понял. Хорошее решение. Спасибо

[Praded]

Sonic86 в сообщении #497330 писал(а):

Так что максимум 4 нуля.

$32+125+250=407:\quad32\cdot125\cdot250=1000000$
Получается 6 нулей.

[Shadow]

Еще один вариант
Если обозначить $a_k$ десятичное число из к единиц, то
$a_{3k}=a_k(1+10^k+10^{2k})$ делится на $3a_k$
Любимая индукция

Не могу найдти знак "делится на" - 3 верикальные точки