Трилатерация

[BackSlashOZ]

Возникла необходимость в одном проекте в вычислении координат точки в пространстве, зная координаты 3-х точек (не больше и не меньше, ровно 3 не совпадающие точки; искомая точка не обязательно лежит в одной плоскости с известными. т.е. решений может быть 1 или 2, 0 быть не может т.к. данные на входе проверяются на валидность).
Что имеем:
СЛАУ следующего вида

Цитата:

$\left\{\begin{matrix} $r_{1}^2 = (x-a_{1})^2+(y-b_{1})^2+(y-c_{1})^2$ \\ $r_{2}^2 = (x-a_{2})^2+(y-b_{2})^2+(y-c_{2})^2$ \\ $r_{3}^2 = (x-a_{3})^2+(y-b_{3})^2+(y-c_{3})^2$ \\ \end{matrix}\right.$

Есть наборы значений A, B и C (центры сфер, пересечением которых является искомая точка) и набор значений радиусов сфер.
Не могу выразить X, Y и Z, позабыт курс математики.

Если бы это был 1 заранее известный набор исходных данных, то привёл бы к ступенчатому виду и решил бы методом Гаусса вручную; пробовал методом перебора, но во-первых требования к процессорному времени очень-очень критичны, во вторых код довольно громоздкий, в-третьих сложно найти более 1-й точки, придётся применять кластеризацию, а это ещё огромное число строк кода и в разы большее время вычисления.
Я вижу, что тут можно выразить любую свободную переменную и далее по цепочке, подставляя значения. На плоскости это очень-легко решается, но в пространстве что-то не могу.

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули. Вернут её, видимо, в "Помогите решить (М)"

[Алексей К.]

Если без лишних слов: означает ли Ваш пост, что:
1) надо в каждом 3-ем слагаемом заменить $y$ на $z$, посчитав написанное за опечатку, типа $\ldots+({\color{magenta}z}-c_{1,2,3})^2$?
2) решить полученную систему уравнений с тремя неизвестными, названную почему-то СЛАУ? (наколько я понял, СЛАУой на форуме и в современной жизни называют Систему Линейных Уравнений (про букву А пока не допёр), каковой Ваша пока не является)

[BackSlashOZ]

Алексей К. в сообщении #493225 писал(а):

Если без лишних слов: означает ли Ваш пост, что:
1) надо в каждом 3-ем слагаемом заменить $y$ на $z$, посчитав написанное за опечатку, типа $\ldots+({\color{magenta}z}-c_{1,2,3})^2$?
2) решить полученную систему уравнений с тремя неизвестными, названную почему-то СЛАУ? (наколько я понял, СЛАУой на форуме и в современной жизни называют Систему Линейных Уравнений, про букву А пока не допёр, каковой Ваша пока не является)

1) Верно, опечатался

Цитата:

$\left\{\begin{matrix} $r_{1}^2 = (x-a_{1})^2+(y-b_{1})^2+(z-c_{1})^2$ \\ $r_{2}^2 = (x-a_{2})^2+(y-b_{2})^2+(z-c_{2})^2$ \\ $r_{3}^2 = (x-a_{3})^2+(y-b_{3})^2+(z-c_{3})^2$ \\ \end{matrix}\right.$

2) А - "Алгебраических". Не Линейные, тоже верно.

[Алексей К.]

Ну, мне видится следующее.
Заменяем уравнения 1,2,3 на 1-2,2-3,3 (подразумеваю разности). Два первых решаем относительно $x,y$. Получаем $x(z),y(z)$. Подстваляем в третье. Решаем.

-- 16 окт 2011, 22:23 --

Хотя, конечно, хочется бОльшей симметричности. Чем у нас зэт хуже икса и игрека? За что мы его в скобочку загнали?
Вот взять бы типа четвёртое добавить уравнение $w=x^2+y^2+z^2$, первые три станут линейными по $x,y,z$, итд.