Минимизация функции

[lioness]

Здравствуйте, у меня возникли сложности с задачей на нахождение минимума функции q.
$q=\frac {D \cdot (m^2+n^2 )^2} {R^3} +\frac {(Ehm^4)}{R \cdot n^2 \cdot (m^2+n^2 )^2 }$
При этом нужно найти $\min_m \min_n q$.
Задача видимо не сложная, но я решала только по минимизации одной переменной, а не двух. А к этой задаче даже не знаю какой метод применить. Решить эту задачу нужно математически, на компе я знаю как это сделать, а вот с точки зрения математики нет. Подскажите пожалуйста, хоть какую-нибудь идею, пожалуйста

[Алексей К.]

lioness в сообщении #492359 писал(а):

А к этой задаче даже не знаю какой метод применить.

Так тот же. Просто ту книжку, где было про одну переменную, пролистать чуть дальше, и будет про экстремумы функций двух (или нескольких) переменных.

Не знаю, упростится ли дело в данном конкретном случае от замен $x=(m^2+n^2)^2$, $y=\dfrac{m^4}{n^2}$.

[lioness]

а можете посоветовать какую-нибудь книжку хорошую или статью, где возможно разобраны аналогичные примеры, заранее спасибо

[ewert]

Минимизируйте сначала по $(m^2+n^2)^2$ при фиксированном всём остальном -- это простенькая задачка и решается почти в уме, даже дифференцирования не требует. После подстановки найденного значения $(m^2+n^2)^2$ получится аналогичная задачка на минимизацию по переменной $\frac{m^2}{n}$.

[lioness]

Спасибо большое за помощь. Только замена мне не всегда поможет, дело в том, что у меня 7 задач и только в некоторых можно сделать как вы советуете
1. $P_k=\frac {1}{t}\cdot (\frac {D(m^2+n^2 )^2}{R^3 n^2}+\frac {Em^4 h}{Rn^2 (m^2+n^2 )^2 })$
Здесь как я понимаю можно сделать замену типа
$x=\frac {m^2+n^2 }{n}$ и $y=\frac{m}{n}$

2. $q=\frac {DhR^2((mPi)^2+n^2 )^2}{n^2}+\frac {Eh^2R^2((mPi)^2 \cdot k_2+n^2 \cdot k_1 )^2 }{n^2((mPi)^2+n^2 )^2 }$
Здесь
$x=\frac {((mPi)^2+n^2 )^2}{n^2}$ и $y=\frac {((mPi)^2 \cdot k_2+n^2 \cdot k_1 )^2 }{n^4}$

3. В этой задаче видимо замену делать не нужно $P_k=\frac {1}{t}\cdot D((mPi)^2+n^2 )$

4. $P_k=\frac {Dh^2}{n^2}\cdot ((mPi)^2+n^2 )^2$
Здесь
$x=(mPi)^2+n^2 $ и $y=n$

5. $p=\frac {(m_1^2+n_1^2 )^2}{R_1 m_1^2+2R_1 n_1^2-R_2 n_1^2} \cdot (\frac {2R_1 D}{R_2} +\frac {2Eh}{R_1 R_2^3}\cdot \frac {(m_1^2 R_1+n_1^2 R_2 )^2}{(m_1^2+n_1^2 )^4 })$
Здесь видимо
$x=\frac {(m_1^2+n_1^2 )^2}{R_1 m_1^2+2R_1 n_1^2-R_2 n_1^2} $ и $y=\frac {(m_1^2 R_1+n_1^2 R_2 )^2}{(m_1^2+n_1^2 )^4 }$

6. А как быть с этой задачей
$G=\frac {E_1 m^4 +2E_1 v_2 m^2 n^2 +E_2 n^4}{4m^2 n^2 (v_1v_2-1)}$

-- Пт окт 14, 2011 13:16:01 --

Отбросим последнюю задачу, я с ней как-нибудь отдельно разберусь (постараюсь конечно )
А вот на счет остальных, допустим я сделаю замену в задаче 1 получу
$P_k=\frac {1}{t} (\frac {D}{R^3} x^2+\frac {Eh}{R} \frac {y^4}{x^2}) $
А дальше каким методом лучше искать минимизацию, сомневаюсь что здесь подойдет метод деления отрезка пополам, может стоит методом из матана: найти критические точки а дальше исследовать их. Или есть что-то более подходящее. Это просто задача физического профиля и здесь не имеет значения каким методом что решать, главное получить наиболее верный результат

[ewert]

lioness в сообщении #492403 писал(а):

6. А как быть с этой задачей
$G=\frac {E_1 m^4 +2E_1 v_2 m^2 n^2 +E_2 n^4}{4m^2 n^2 (v_1v_2-1)}$

Здесь всё совсем тривиально -- поделить почленно:

$$G=\frac{1}{4 (v_1v_2-1)}\left(E_1\frac{m^2}{n^2} +E_2\frac{n^2}{m^2} +2E_1 v_2\right).$$

И очевидно, что минимум получается при $E_1\frac{m^2}{n^2}=E_2\frac{n^2}{m^2}.$

-- Пт окт 14, 2011 14:27:49 --

lioness в сообщении #492403 писал(а):

1. $P_k=\frac {1}{t}\cdot (\frac {D(m^2+n^2 )^2}{R^3 n^2}+\frac {Em^4 h}{Rn^2 (m^2+n^2 )^2 })$
Здесь как я понимаю можно сделать замену типа
$x=\frac {m^2+n^2 }{n}$ и $y=\frac{m}{n}$

Только гораздо выгоднее квадрат с икса не снимать. Тогда получится выражение вида $Ax+\frac Bx$ (где $B$ зависит от $y$,но это пока не важно). Для фиксированного $y$ это выражение принимает минимальное значение при $Ax=\frac Bx$. Соответственно, подставляйте в него $x=\sqrt{\frac BA}$ и потом ровно так же минимизуруйте полученное выражение по $y$.

[lioness]

ewert в сообщении #492409 писал(а):

Здесь всё совсем тривиально -- поделить почленно:

$$G=\frac{1}{4 (v_1v_2-1)}\left(E_1\frac{m^2}{n^2} +E_2\frac{n^2}{m^2} +2E_1 v_2\right).$$

И очевидно, что минимум получается при $E_1\frac{m^2}{n^2}=E_2\frac{n^2}{m^2}.$

На счет поделить это действительно очевидно, спасибо, что-то не сообразила сразу так упростить =) а вот на счет очевидно что минимум получается при $E_1\frac{m^2}{n^2}=E_2\frac{n^2}{m^2}.$ Это из чего следует? У меня величины $m\geqslant 0$ и $n\geqslant 0$, т.е. оба слагаемых очевидно будут положительные, но почему минимум будет при этом условии я не очень понимаю

P.S. да уж не помешало бы где-нибудь послушать этот курс но сейчас видимо придется как то так набегами разбираться

-- Пт окт 14, 2011 13:39:57 --

Т.е. нужно сделать так
$P_k=\frac {1}{t}\cdot (\frac {D(m^2+n^2 )^2}{R^3 n^2}+\frac {Em^4 h}{Rn^2 (m^2+n^2 )^2 })$
Здесь как я понимаю можно сделать замену типа
$x=\frac {(m^2+n^2)^2 }{n^2}$ и $y=\frac{m}{n}$

$P_k=\frac {1}{t} (\frac {D}{R^3} x+\frac {Eh}{R} \frac {y^4}{x})$

А дальше

$Ax+\frac {B(y)}{x}$
это выражение принимает минимальное значение при $Ax=\frac Bx$.
Вопрос: Почему такое? если это выражение потенциально приравнять к нулю получается $Ax=- \frac Bx$

[ewert]

lioness в сообщении #492417 писал(а):

это выражение принимает минимальное значение при $Ax=\frac Bx$.
Вопрос: Почему такое?

Потому, что в школе так учат. Есть общеизвестный факт: $\min\left\{x+\frac1x\right\}=2$ и достигается при $x=1$ (хотя бы потому, что $x+\frac1x=\left(\sqrt x-\frac1{\sqrt x}\right)^2+2$). Добавление коэффициентов ничего принципиально не меняет и легко учитывается; да и даже учитывать ничего не надо: ясно, что после соответствующей замены можно $Ax+\frac Bx$ представить как $\alpha\left(\frac{x}{\beta}+\frac{\beta}{x}\right)=\alpha\left(t+\frac1t\right)$ А если лень в это вникать, то просто приравняйте к нулю производную по иксу.

[lioness]

ewert в сообщении #492424 писал(а):

Потому, что в школе так учат. Есть общеизвестный факт: $\min\left\{x+\frac1x\right\}=2$ и достигается при $x=1$ (хотя бы потому, что $x+\frac1x=\left(\sqrt x-\frac1{\sqrt x}\right)^2+2$). Добавление коэффициентов ничего принципиально не меняет и легко учитывается; да и даже учитывать ничего не надо: ясно, что после соответствующей замены можно $Ax+\frac Bx$ представить как $\alpha\left(\frac{x}{\beta}+\frac{\beta}{x}\right)=\alpha\left(t+\frac1t\right)$ А если лень в это вникать, то просто приравняйте к нулю производную по иксу.

Стыдно конечно не знать, но я правда не знала, даже порывшись в закромах своей памяти. С производной проверила действительно получается как вы говорите
$\frac {A}{B}-\frac{1}{x^2}$ отсюда очевиден и ответ на счет $E_1\frac{m^2}{n^2}=E_2\frac{n^2}{m^2}$ а на счет общеизвестного факта я поняла ход мысли, но с производными мне ближе. Спасибо за разъяснение

-- Пт окт 14, 2011 14:14:25 --

После подстановки у меня получилось следующее
$P_k=\frac {1}{t} (\frac {2\sqrt{EhD}}{R^2}y^2)$

а здесь минимум достигается при $y=0$ ?
если так, то x=0 тоже, так как B(y)