Аналитич геометрия. Косинус угла между векторами.

[samuil]

$\cos\beta=?$

$\beta$ - угол между вектором $\vec s=\vec a+3\vec b$ и вектором $\vec t=2\vec a-3\vec b$

Известно, что $|\vec a|=3$; $|\vec b|=2$;

$\alpha=\pi/3$ - угол между $\vec a$ и $\vec b$

Попытка

Арифметические ошибки не интересуют, интересует принцип решения и корректность оформления!

$(\vec s,\vec t)=|\vec s|\cdot |\vec t|\cos\alpha$

Можно ли так умножать?

1) $(\vec s,\vec t)=(\vec a+3\vec b)(2\vec a-3\vec b)=2(\vec a,\vec a)+3(\vec a,\vec b)-9(\vec b,\vec b)$

$(\vec a,\vec a)=|\vec a|\cdot |\vec a|=9$

$(\vec b,\vec b)=|\vec b|\cdot |\vec b|=4$

$(\vec a,\vec b)=|\vec a|\cdot |\vec b|\cos\alpha=3\cdot 2\cdot \cos(\pi/3)=3$

$(\vec s,\vec t)=2\cdot 9-3\cdot 3-9\cdot 4=-27$

2)

$$|\vec s|=\sqrt{(\vec s,\vec s)}=(\vec a+3\vec b)(\vec a+3\vec b)=(\vec a,\vec a)+6(\vec a,\vec b)+9(\vec b,\vec b)=9+6\cdot 3+9\cdot 4=27+36=63$$

$$|\vec t|=\sqrt{(\vec t,\vec t)}=(2\vec a-3\vec b)(2\vec a-3\vec b)=4(\vec a,\vec a)-12(\vec a,\vec b)+9(\vec b,\vec b)=9\cdot 4-12\cdot 3+9\cdot 4=36$$

$$\cos\beta=\dfrac{(\vec s,\vec t)}{|\vec s|\cdot |\vec t|}=\dfrac{-27}{63\cdot 36}=-\dfrac{3\cdot 9}{9\cdot 7\cdot 3\cdot 12}=-\dfrac{1}{84}$$

[Legioner93]

samuil в сообщении #491518 писал(а):

$(\vec s,\vec t)=2\cdot 9-3\cdot 3-9\cdot 4=-27$

перед вторым слагаемым плюс.
Остальное правильно.

[samuil]

Legioner93 в сообщении #491519 писал(а):

samuil в сообщении #491518 писал(а):

$(\vec s,\vec t)=2\cdot 9-3\cdot 3-9\cdot 4=-27$

перед вторым слагаемым плюс.
Остальное правильно.

Спасибо! А можно ли так перемножать вектора? Правильно ли оформлено?) Как-то непривычно раскрывать скобки с векторами!

[Legioner93]

Можно. Скалярное произведение линейно $(a+b,c)=(a,c)+(b,c)$ и коммутативно $(a,b)=(b,a)$. Это два свойства, которые негласно использовали.
И, кстати, вы ещё забыли извлечь корень, когда считали длины векторов.

[AKM]

samuil в сообщении #491520 писал(а):

Правильно ли оформлено?

Неправильно: красный цвет, согласно Правилам форума, зарезервирован для модераторов.

[samuil]

Ок, буду знать!