Решение векторного уравнения

[Dosaev]

1. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (x, a) = p, а также его частного решения, коллинеарного вектору а:
1) на плоскости;
2) в пространстве.

Ну если расписать скалярное произведение по определиню $(x, a) = |x| \cdot |a| \cdot \cos \phi = p$
и выразить отсюда $|x|$, то получится $|x| = \frac{p}{|a| \cdot \cos \phi}.$

И как мне это представить в геометрической интерпретации??
И может плясать от того что скалярное произведение это число, а значит точка. и все решения этого уравнения множество точек. Только вот какое?

[jetyb]

Просто условие недоумки составляли.

Переведите его в покоординатный вид.

[Полосин]

Представьте $x$ в виде $x=\alpha a+tb$ на плоскости и $x=\alpha a+ub+vc$ в пространстве, где вектор $b$ (векторы $b$ и $c$) ортогонален вектору $a$, $\alpha$ - фиксированное число (найдите его!), $t$ ($u$ и $v$) - параметр.

[Dosaev]

Полосин в сообщении #490677 писал(а):

Представьте $x$ в виде $x=\alpha a+tb$ на плоскости и $x=\alpha a+ub+vc$ в пространстве, где вектор $b$ (векторы $b$ и $c$) ортогонален вектору $a$, $\alpha$ - фиксированное число (найдите его!), $t$ ($u$ и $v$) - параметр.

$\alpha = \frac{p}{|a|^2};$
Теперь
$x = \frac{p}{|a|^2} \cdot a + t \cdot b.$
и?

[Полосин]

Что "и"? Что от вас требуется сделать? Что такое геометрический смысл? Разберитесь сами.

[Dosaev]

Полосин в сообщении #490685 писал(а):

Что "и"? Что от вас требуется сделать? Что такое геометрический смысл? Разберитесь сами.

не понимаю: х изначально вектор, так мы его разложили как сумму двух ортогональных векторов, вновь получили вектор. В геометрическом плане это также вектор. В чем прикол?

-- Сб окт 08, 2011 18:07:47 --

jetyb в сообщении #490676 писал(а):

Переведите его в покоординатный вид.

Что??

[alcoholist]

Dosaev в сообщении #490694 писал(а):

В чем прикол?

Вы же уже выписали общее решение

Dosaev в сообщении #490680 писал(а):

$x = \frac{p}{|a|^2} \cdot a + t \cdot b.$

исходного уравнения

Какое множество концы этих векторов образуют?

[JMH]

Чую, TC введён в замешательство :) Зайдём с дугой стороны: скалярное произведение - линейный функционал; вспомните (посмотрите) геометрический смысл линейного функционала.

[ewert]

Dosaev в сообщении #490659 писал(а):

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (x, a) = p

Это -- линейное уравнение общего вида на координаты. От Вас требуется лишь вспомнить, какой геометрический объект задаётся общим линейным уравнением на плоскости и какой в пространстве.

[alcoholist]

координаты -- алгебраический смысл


а геометрический -- это "геометрический смысл скалярного произведения"... проекция

[Dosaev]

alcoholist в сообщении #490825 писал(а):

Какое множество концы этих векторов образуют?

Извините за столь поздний ответ, но мне кажется что это одна точка, так как любой вектор мы можем параллельно перенести, то есть все векторы, являющиеся решением этого уравнения, мы можем перенести в одну точку. Нет?
И почему именно концы?

[alcoholist]

Dosaev в сообщении #493169 писал(а):

Извините за столь поздний ответ, но мне кажется что это одна точка, так как любой вектор мы можем параллельно перенести, то есть все векторы, являющиеся решением этого уравнения, мы можем перенести в одну точку. Нет?

У нас есть выделенная точка -- начало координат, так что все вектора от нее откладываются

[Dosaev]

То есть, я так понимаю, все векторы x исходят (берут начало) из одной точки? Но тогда разве их концы лежат на одной прямой?

[arseniiv]

Ну так вами и показано же, что да. То параметрическое уравнение что задаёт?

-- Пн окт 17, 2011 01:22:43 --

Вот это:

Dosaev в сообщении #490680 писал(а):

$x = \frac{p}{|a|^2} \cdot a + t \cdot b.$

Посморите, вектор $x$ — сумма двух векторов. Одного не зависящего от $t$ и одного зависящего. Что получится из точек с радиус-векторами $t \cdot b$ при любом $t$? А теперь перенесём эту фигуру параллельно на $\frac{p}{|a|^2} \cdot a$. А ведь радиус-векторы точек полученной фигуры как раз $x(t)$!

[Dosaev]

Тогда почему это не плоскость? Ведь каждому вектору х соответствует своя t и если мы будем переносить их параллельно вдоль a, то получим множество параллельных прямых, т.е плоскость.
??

-- Вс окт 16, 2011 23:08:41 --

Все я понял: число $\frac{p}{|a|^2|}$ зафиксировано, меняется t и тем самым концы вектора х бегают по прямой, проходящей через конец вектора $\frac{p}{|a|^2|} \cdot a.$

-- Вс окт 16, 2011 23:12:29 --

Я заучился!!! Я чувствую это, потому что у меня беспорядок в голове и я уже не могу представить такие простые вещи!