Найти сумму ряда с помощью равенства Парсеваля

[aeterna]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
Такую сумму надо найти с помощью равенства Парсеваля.

Попробовал представить $\frac{1}{n^2}$ как последовательность из $l^1$, тогда эта сумма - норма такой последовательности, которая равна этой самой сумме. То есть ни к чему хорошему не пришел.

[Vince Diesel]

Можно взять периодическую функцию, коэффициенты Фурье которой равны...

[ewert]

Только не "можно", а "нужно". Чётко же указано: с помощью Парсеваля.

[Sonic86]

В крайнем случае возьмите книгу по рядам Фурье, найдите пару разложений и внимательно на них посмотрите.

[aeterna]

Vince Diesel в сообщении #488627 писал(а):

Можно взять периодическую функцию, коэффициенты Фурье которой равны...

А какой выбирать базис?

[Vince Diesel]

Какой нравится Можно попробовать несколько и прикинуть, где легче считать. В базисе из косинусов и синусов уже как минимум два простых варианта...

[aeterna]

Vince Diesel в сообщении #488694 писал(а):

Какой нравится Можно попробовать несколько и прикинуть, где легче считать. В базисе из косинусов и синусов уже как минимум два простых варианта...

$\sum \frac{1}{n} (\cos(nx) + i \sin(nx))$ ?
Надо посчитать сумму этой штуки, а потом проинтегрировать?
Не совсем понимаю как считать сумму.

[ИСН]

Ряд Фурье обычно очень трудно узнать в лицо. Но синус и косинус - это экспонента, поэтому всякий ряд Фурье - это чей-то ряд Тейлора, а с ним всё проще.

[aeterna]

ИСН в сообщении #488861 писал(а):

Ряд Фурье обычно очень трудно узнать в лицо. Но синус и косинус - это экспонента, поэтому всякий ряд Фурье - это чей-то ряд Тейлора, а с ним всё проще.

И всё-таки не понимаю $\frac{1}{n} e^{inx}$
Какой здесь ряд тейлора?

[ИСН]

Никакой. Это ряд Фурье. Чтобы был ряд Тейлора, нужно могучим усилием воли выделить тут кого-то в степени n.

[aeterna]

Каким образом?

[ИСН]

ну ёлки, $e^{ix}=z$...

[aeterna]

тогда ряд такой: $\frac{x^n}{n}$
и сумма его : $-\log(1-z) = -\log(1-e^{ix})$
только теперь ведь эту штуку надо интегрировать, непонятно как

[nnosipov]

aeterna в сообщении #488950 писал(а):

тогда ряд такой: $\frac{x^n}{n}$
и сумма его : $-\log(1-z) = -\log(1-e^{ix})$
только теперь ведь эту штуку надо интегрировать, непонятно как

Не пройдёт, поскольку интеграл этот вычисляют сведением к тому ряду, который Вам нужно вычислить.

[aeterna]

а как тогда?