Измеримые множества и функции

[JMH]

Задача следующая: имеются измеримые (по Лебегу) функции $f:X\to[-\infty,+\infty]$ и $g:X\to[-\infty,+\infty]$; Доказать, что множества $\{x:f(x)<g(x)\},\{x:f(x)=g(x)\}$ измеримы.

Скажите пожлуйста, приемлемо ли следующее рассуждение: $\{x:f(x)<g(x)\}=f^{-1}\Big(\big[-\infty,g(x)\big)\Big)$, стало быть, измеримо. Если приемлемо, тогда второй случай доказывается аналогично, только рассматриваем пересечение дополнений к множествам, открытым в $[-\infty,+\infty]$. Заранее признателен!

[--mS--]

JMH в сообщении #488185 писал(а):

Скажите пожлуйста, приемлемо ли следующее рассуждение: $\{x:f(x)<g(x)\}=f^{-1}\Big(\big[-\infty,g(x)\big)\Big)$, стало быть, измеримо.

Разумеется, нет. Слева - некоторое (одно-единственное) множество на прямой, ни от какого $x$ не зависящее. Справа же - семейство множеств, определяющихся выбором $x$, т.е. при каждом $x$ там своё множество. Если бы вместо $g(x)$ была тождественная константа (и только в этом случае), такое равенство было бы верно.

Воспользуйтесь стандартным приёмом: разбейте множество $\{x:f(x)<g(x)\}$ в счётное объединение измеримых множеств.

[ewert]

JMH в сообщении #488185 писал(а):

Доказать, что множества $\{x:f(x)<g(x)\},\{x:f(x)=g(x)\}$ измеримы.

У вас должно было быть утверждение о том, что сумма (и, значит, разность) измеримых функций -- измерима.

[AD]

ewert в сообщении #488192 писал(а):

У вас должно было быть утверждение о том, что сумма (и, значит, разность) измеримых функций -- измерима.

Которое как раз обычно доказывается через эту задачу, не?

[--mS--]

Именно.

[JMH]

--mS-- в сообщении #488188 писал(а):

Воспользуйтесь стандартным приёмом: разбейте множество $\{x:f(x)<g(x)\}$ в счётное объединение измеримых множеств.

Пусть $\displaystyle\bigcup_i^\infty \alpha_i \in[-\infty,+\infty]$ - семейство окрестностей $x$, для которых $f(x)<g(x)$. Тогда $\{x:f(x)<g(x)\}=\displaystyle\bigcup_i^\infty f^{-1}(\alpha_i)$, где $f^{-1}(\alpha_i)$ измеримы по определению измеримой функции. Так?

[Nimza]

А с чего вы взяли, что множество $\left\{ f(x) < g(x) \right\}$ открытое (т.е. представимо как объединение окрестностей)? В доказательстве, которое знаю я, ключевым моментом является то, что $\forall x \in \left\{ f(x) < g(x) \right\} \exists q_x \in \mathbb{Q}$ такое, что $f(x) < q_x < g(x)$.

[JMH]

Из определения измеримой функции следует, что область значений представима в виде счётного объединения открытых множеств = окрестностей своих точек.

[Nimza]

JMH в сообщении #488352 писал(а):

Из определения измеримой функции следует, что область значений представима в виде счётного объединения открытых множеств = окрестностей своих точек.

Счётное объединение открытых множеств -- открытое множество. С константой незадача получается.

[JMH]

Это интересный момент! По определению, измеримой называется функция, $X\to Y$, $X$ - измеримое пространство, $Y$ - топологическое, для которой прообразами открытых множеств являются измеримые множества. Как быть с простыми функциями и, в частности, с константой?

[Nimza]

Всё правильно, пусть $f(x) \equiv c$$. Возьмём любое открытое множество в $Y$. Если оно содержит точку $c$, то его прообразом будет $X$, если нет --- $\emptyset$. Оба множества измеримы как открытые.

[JMH]

Здесь была ерунда...

[--mS--]

JMH в сообщении #488344 писал(а):

Пусть $\displaystyle\bigcup_i^\infty \alpha_i \in[-\infty,+\infty]$ - семейство окрестностей $x$, для которых $f(x)<g(x)$. Тогда $\{x:f(x)<g(x)\}=\displaystyle\bigcup_i^\infty f^{-1}(\alpha_i)$, где $f^{-1}(\alpha_i)$ измеримы по определению измеримой функции. Так?

Абракадабра какая-то. $\displaystyle\bigcup_i^\infty \alpha_i$ - число или множество? Если множество, почему ведёт себя как элемент расширенной числовой прямой? Если число, то...
"Семейство окрестностей $x$, для которых..." - семейство окрестностей тех точек $x$, для которых... ? И откуда тогда последнее равенство? Вот Вам окрестность любой, какой хотите, точки $x$: $(-\infty, +\infty)$. Подставьте её в правую часть последнего равенства - получится абсурд.
Или эту фразу читать следовало как "семейство окрестностей, каждая из которых состоит из точек $x$, для которых ..."? Тогда существование доказывайте.

А лучше воспользуйтесь готовым решением от Nimza.

[JMH]

Либо я чего-то не понимаю, либо... Множество $\{f(x):f(x)<g(x)\}$ необходимо является либо 1) $[-\infty,y)$, либо 2) $(y,z)$, либо 3) константой, а также произвольными счетными объединениями вышеперечисленного. Счётными именно по причине, указанной Nimza. Прообразы 1), 2) и 3) очевидно являются измеримыми множествами, соотв. их счётное объединение также является измеримым.

[PAV]

JMH
это не так, данное множество может быть любым измеримым (например, это могут быть все иррациональные точки).

Вам уже дали правильный совет, дающий практически сразу каноническое решение задачи в одну строчку.