Исследовать на сходимость ряд.

[RFZ]

Здравствуйте!
Помогите с такой задачей. Нужно исследовать такой ряд на сходимость:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty } \Big(\ln \dfrac{1}{n^{\alpha}}-\ln\Big(\sin \dfrac{1}{n^{\alpha}} \Big) \Big)$.
Вот моя попытка решения:
При $\alpha \leq 0$ общий член ряда не стремится к нулю, а следовательно наш ряд расходится.
Пусть теперь $\alpha > 0$.
$\ln \dfrac{1}{n^{\alpha}}-\ln\Big(\sin \dfrac{1}{n^{\alpha}} \Big)=\ln \dfrac{1}{n^{\alpha}}-\ln\Big(\dfrac{1}{n^\alpha}+O\Big(\dfrac{1}{n^{2\alpha}}\Big) \Big)=\ln \dfrac{1}{n^{\alpha}}-\ln\dfrac{1}{n^\alpha}\Big(1+O\Big(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Big) \Big)=-\ln\Big(1+O\Big(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Big) \Big)=O\Big(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Big)$
Ряд сходится при $\alpha>1$
Скажите верно ли у меня?
Если нет покажите пожалуйста ошибку

[ИСН]

Распишите синус с большей точностью.

[RFZ]

Там наверное должно быть $3\alpha$, тогда ответ будет верным.
А почему нельзя там поставить $2\alpha$ или $4\alpha$?
Объясните пожалуйста
Честно говоря разложения Тейлора не так уж хорошо понимаю.

[ИСН]

Поставить 2 или 4 нельзя потому, что там уже стоит 3. А почему - ну, идите поймите, что такое ряды Тейлора. Наверное, проще никак не выйдет.

[RFZ]

В какой книге про это подробно есть? скажите пожалуйста

[ИСН]

В любой. В Википедии тоже есть.

[RFZ]

Но какую книгу посоветуете?
Чтобы там был интересующий меня вопрос.

[ИСН]

Никакую. Учиться по книгам - атавизм.

[gris]

А вот Вы же употребили символ О-большое. Что оно означает по определению?
*** Вот тут я несколько ошибся. Хотя может быть и не ошибся. Короче, надо самому повторить

[RFZ]

ИСН в сообщении #488290 писал(а):

Поставить 2 или 4 нельзя потому, что там уже стоит 3. А почему - ну, идите поймите, что такое ряды Тейлора. Наверное, проще никак не выйдет.

Раз вы сказали, что нужно прочитать, то скажите пожалуйста за одно в какой книге это есть?

-- Сб окт 01, 2011 19:10:11 --

$f(x)=O(g(x))$ при $x \to a$, если для для всех $x$ из некоторой окрестности точки $a$ выполнено неравенство: $\Big|\dfrac{f(x)}{g(x)} \Big|\leq M$

[ИСН]

Где Вы у меня видели слово "прочитать"? Я сказал "понять".

[Sonic86]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #488321 писал(а):

Никакую. Учиться по книгам - атавизм.

Почему???

[ИСН]

(Оффтоп)

Потому что сами книги - атавизм.
(Это, допустим, полемическое преувеличение; но как раз здесь оно уместно.)

[Sonic86]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #488384 писал(а):

Потому что сами книги - атавизм.
(Это, допустим, полемическое преувеличение; но как раз здесь оно уместно.)

А, ну тогда понятно. А я уж думал, что это вообще ...

[ewert]

RFZ в сообщении #488276 писал(а):

Там наверное должно быть $3\alpha$, тогда ответ будет верным.
А почему нельзя там поставить $2\alpha$ или $4\alpha$?

$4\alpha$ ставить нельзя потому, что это формально неверно, а $2\alpha$ -- потому, что слишком грубо и Вы получите лишь достаточное условие сходимости.

ИСН в сообщении #488290 писал(а):

ну, идите поймите, что такое ряды Тейлора.

Между прочим, вовсе не ряды, хоть и Тейлора; обманывать нехорошо.