Две топологии на $X$: объединение

[xmaister]

Здравствуйте!
Возник 1 простой вопрос:
Пусть $\tau_1$ и $\tau_2$ две топологии на $X$. Будет ли $\tau_1\cup\tau_2$ топологией на $X$? Подобрать контрпример не удалось, для двух несравнимых их объединение тоже получалось топологией на $X$.

Благодарю.

[bnovikov]

Может не быть. На множестве $\{1,2,3\}$ пусть $\tau_1$ состоит из одного (нетривиального) открытого множества $\{2,3\}$, а $\tau_2$ - из $\{1,3\}$.

[xmaister]

Понятно, спасибо!
А если рассмотреть произвольное семейство топологий $\{\tau_s\}_{s\in S}$ на $X$. Какая тогда будет их точная верхняя грань?


Я вот как раз думал, что точная верхняя грань будет $\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$, оказывается, что может не быть. А насчёт дискретной топологии, я сомневаюсь что она будет точной верхней гранью, наверное надо что-то грубее.

[bnovikov]

Не знаю, я не тополог.

[AD]

Ну ясно, что если взять любую россыпь множеств, то можно рассмотреть наименьшую топологию, в которой они все открыты. Эта топология будет содержать $\varnothing$, $X$, все объединения множеств из россыпи и их конечные пересечения. Едва ли в общем случае можно сказать что-то точнее.

[Kallikanzarid]

xmaister в сообщении #487272 писал(а):

А если рассмотреть произвольное семейство топологий $\{\tau_s\}_{s\in S}$ на $X$. Какая тогда будет их точная верхняя грань?

Разумно предположить, что это будет топология, для которой объединение этих топологий будет предбазой, но доказывать мне лень :)

[xmaister]

Kallikanzarid, исходя из вашей идеи вроде получилось.

Можете проверить ход рассуждений?
Рассмотрим семейство $\mathcal{P}=\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$ и семейство $\mathcal{B}=\{U_1\cap\ldots\cap U_i|U_1\in\tau\ldots U_i\in\tau\}$, тогда семейство всех множеств, полученных их объединения всех возможных подсемейств $\mathcal{B}$ будет топологией $\tau$ порождённой базой $\mathcal{B}$. Тогда $\forall s\in S\forall U\in\tau_s U\in\tau$. Предположим, что существует топология $\tau '$, такая что $\forall s\in S\forall U\in\tau_s U\in\tau_s\subset\tau '\subset\tau$. Рассмотрим $U\in\tau$, тогда $U=\bigcup\limits_{k\in K}U_{1k}\cap\ldots\cap U_{ik}$, но $\bigcup\limits_{k\in K}U_{1k}\cap\ldots\cap U_{ik}\in\tau '$, тогда $\tau=\tau'$, т.е. $\tau$- точная верхняя грань семейства топлогий $\{\tau_s\}_{s\in S}$.

Благодарю.

-- 28.09.2011, 19:30 --

Тогда наверное можно и не предполагать что $\tau '\subset\tau$ любая топология, содержащая все множества семейства $\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$ будет содержать топологию $\tau$

[Kallikanzarid]

xmaister в сообщении #487325 писал(а):

Рассмотрим семейство $\mathcal{P}=\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$ и семейство $\mathcal{B}=\{U_1\cap\ldots\cap U_i|U_1\in\tau\ldots U_i\in\tau\}$, тогда семейство всех множеств, полученных их объединения всех возможных подсемейств $\mathcal{B}$ будет топологией $\tau$ порождённой базой $\mathcal{B}$.

Тут есть небольшая опечатка, и вообще непонятно, зачем нужен этот фрагмент :)

xmaister в сообщении #487325 писал(а):

Рассмотрим $U\in\tau$, тогда $U=\bigcup\limits_{k\in K}U_{1k}\cap\ldots\cap U_{ik}$, но $\bigcup\limits_{k\in K}U_{1k}\cap\ldots\cap U_{ik}\in\tau '$, тогда $\tau=\tau'$, т.е. $\tau$- точная верхняя грань семейства топлогий $\{\tau_s\}_{s\in S}$.

Вот тут подумайте еще :)

[xmaister]

Kallikanzarid в сообщении #487535 писал(а):

Тут есть небольшая опечатка, и вообще непонятно, зачем нужен этот фрагмент :)

Так я же рассматриваю топологию, порождённую базой $\mathcal{B}$ для которой $\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$ предбаза, а как по другому я не знаю.

Kallikanzarid в сообщении #487535 писал(а):

Вот тут подумайте еще :)

Топология $\tau$ будет самой грубой топологией в семействе всех топологий, более тонких чем любая $\tau_s$, т.к. $\tau$ вкладывается в любую $\tau '$, которая содержит все множества семейсва $\bigcup\limits_{s\in S}\tau_s$ , разве нет?