Положительная определенность

[Юстас]

Докажите, что функция $f(t,s)=e^{-|t-s|}$ положительно определена, то есть

$$\forall n \ \forall t_1,\ldots,t_n \in \mathbb{R}, \ z_1,\ldots,z_n\in \mathbb{C} \ \sum_{i,j=1}^n f(t_i,t_j)z_i \overline{z_j}\geq 0$$

.

[maxal]

Ну вообще-то для положительной определенности нужен знак $>$, требование, чтобы все $t_i$ были различны, а вектор $(z_1,\dots,z_n)$ был ненулевым.

Итак, для любых различных $t_1,\ldots,t_n \in \mathbb{R}$ нам нужно доказать, что матрица $M_n=(e^{-|t_i-t_j|})_{i,j=1}^n$ является положительно определенной. Индукцией по $n$ с использованием критерия Сильвестра задача сводится к доказательству того, что $\det M_n>0$.

Без потери общности можно считать, что $t_1< t_2< \dots < t_n$ (иначе переставляем строки и столбцы $M_n$). Умножим каждую $i$-ю строку матрицы $M_n$ на $e^{t_i}$, а затем разделим каждый $j$-й столбец на $e^{t_j}$, в результате определитель матрицы не изменится, а сама она примет вид:

$$\begin{pmatrix} 1 & e^{2(t_1-t_2)} & e^{2(t_1-t_3)} & \dots & e^{2(t_1-t_{n-1})} & e^{2(t_1-t_n)}\\ 1 & 1 & e^{2(t_2-t_3)} & \dots & e^{2(t_2-t_{n-1})} & e^{2(t_2-t_n)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & e^{2(t_{n-1}-t_n)}\\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1\end{pmatrix}$$

Вычитая предпоследнюю строку из последней, и раскладывая определитель по последней строке получаем:

$$\det M_n = (1-e^{2(t_{n-1}-t_n)}) \det M_{n-1} = \dots = \prod_{j=2}^{n} (1-e^{2(t_{j-1}-t_j)}) > 0.$$

ч.т.д.

[RIP]

Проще использовать теорему Бохнера-Хинчина.
Поскольку
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|-2\pi i\lambda x}dx=\frac2{4\pi^2\lambda^2+1},$
то
$e^{-|x|}=2\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{2\pi i\lambda x}}{4\pi^2\lambda^2+1}\,d\lambda,$
поэтому
$\sum_{i,j=1}^nf(t_i,t_j)z_i\overline z_j=2\int_{-\infty}^\infty\left|\sum_{k=1}^nz_ke^{2\pi i\lambda t_k}\right|^2\frac{d\lambda}{4\pi^2\lambda^2+1}.$

[Юстас]

Да, я дал определение неотрицательной определенности. Я знаю другой подход(тоже довольно стандартный), и он просто решает следующую задачу:
(в продолжение темы) доказать неотрицательную определенность функции $g(t,s)=\min(f(t),f(s))$, где $f - $ некоторая функция $f:R\mapsto R$.

[RIP]

Юстас писал(а):

доказать неотрицательную определенность функции $g(t,s)=\min(f(t),f(s))$, где $f - $ некоторая функция $f:R\mapsto R$.

Только $f\colon\mathbb R\to[0;+\infty)$ тогда уж.
$g(t,s)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi_{[0;f(t)]}(x)\chi_{[0;f(s)]}(x)\,dx.$

[Юстас]

Точно
Ну и раз уж начали про положительно определенные функции, задачка на закуску: пусть $f(t)$ положительно определенная( в случае одной переменной $f(t_i,t_j)$ заменяем на $f(t_i-t_j)$). Если $f$ непрерывна в 0, то она равномерно непрерывна на всей оси. Считаем, что "тяжелой артиллерии" вроде Бохнера-Хинчина у нас нет

[Kornelij]

RIP, скажите, пожалуйста, а какую формулировки теоремы Бохнера-Хинчина (и на каком шаге Ваших рассуждений) Вы используете?

[RIP]

Формулировка самая стандартная. Приведённое решение не использует эту теорему. Теорема была использована, чтобы "угадать" решение.

Вообще, положительная определённость матрицы $(a_{i,j})$ означает, что это матрица Грама, то есть найдутся некое линейное пространство (комплексное, вообще говоря) со скалярным произведением $\langle\cdot,\cdot\rangle$ и в нём векторы $x_i$ (линейно независимые, если положительная определённость понимается в строгом смысле), что $a_{i,j}=\langle x_i,x_j\rangle$. Тогда $\sum a_{i,j}z_i\overline{z_j}=\left\|\sum z_ix_i\right\|^2$.

Если $f$ — харфункция, т.е. найдётся вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, что $f(t)=\mathbb E\mathrm e^{it\xi}$, то соответствующее линейное пространство — это $L^2(\Omega,\mathbb P)$, а $f(t-s)=\langle\mathrm e^{it\xi},\mathrm e^{is\xi}\rangle$. Всегда можно взять $\Omega=\mathbb R$, $\mathbb P=\mathbb P_\xi$. Чтобы по $f$ найти $\mathbb P$, надо, грубо говоря, сделать преобразование Фурье, что я и проделал для $f(t)=\mathrm e^{-|t|}$.

Для $\min\{f(t),f(s)\}$ берём $L^2(\mathbb R)$ и "векторы" $\chi_{[0,f(t)]}$.

[ewert]

Юстас в сообщении #103665 писал(а):

Докажите, что функция $f(t,s)=e^{-|t-s|}$ положительно определена, то есть

$$\forall n \ \forall t_1,\ldots,t_n \in \mathbb{R}, \ z_1,\ldots,z_n\in \mathbb{C} \ \sum_{i,j=1}^n f(t_i,t_j)z_i \overline{z_j}\geq 0$$

Со строгой положительностью кой-какие проблемы есть, а вот неотрицательность в некотором смысле довольно очевидна: $e^{-|t-s|}$ -- это ядро интегрального оператора, обратного к дифференциальному $2(-\frac{d^2}{dx^2}+I)$ (на всей оси), который положителен. Поэтому $\int dt\int ds\,e^{-|t-s|}u(t)\overline{u(s)}>0$ для любой функции $u$, а тогда соответствующим предельным переходом получаем неотрицательность и сумм.

[Kornelij]

Простите, други, но все слишком сложно (как для рядового студента). С ядрами операторв мне так сходу не разобраться, да и у преподавателя возникнут или сомнения или подозрения, если я такое напишу((
RIP, если можно, немножко подробнее расскажите о Вашем подходе. Я стараюсь вчитаться, но такое впечатление, что написано умными людьми для умных людей, а не для начинающих(( Извините(( А вообще в этой теме я копаю, чтобы понять, как решать еще одну задачу (topic49431.html). RIP, я там прочитал Ваше сообщение, но оно мне ни о чем не говорит - ну никак ни за что не могу уцепиться. Наверное, лучше вести разговор в какой-то одной ветке (наверное, в той).