(y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0

[REM]

Есть однородное уравнение:
$(y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0$

Делаем замену:
$y = tx, dy = tdx + xdt$

И подставляем в исходное уравнение:
$(t^2 x^2 - 2tx^2)dx + x^2(tdx + xdt) = 0$

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем:
$t^2 x^2 dx + x^2 t dx + x^3 dt = 0$

Группируем слагаемые:
$x^2(t^2dx + tdx) = -x^3dt$
$(t^2dx + tdx) = -x^3dt$
$t(t + 1)dx = -xdt | \cdot \frac{t(t + 1)}{x}$
$\frac{dx}{x} = -t(t+1)dt$

У меня получается ответ $y = \frac{1 - \ln{x} - c}{2}$, но в ответах указано, что $x(y-x)=cy$. 103-й пример из Филиппова.

[ShMaxG]

Тривиально выделяется полный дифференциал. Надо просто увидеть дифференциал отношения, поделив на кое-что.

[AKM]

REM в сообщении #486371 писал(а):

У меня получается ответ $y = \frac{1 - \ln{x} - c}{2}$, но в ответах указано, что $x(y-x)=cy$.

Мне казалось, что следующий шаг --- подставить оба решения в уравнение, и попытаться узнать, кто неправ.
Но так, видимо, делали только в дофорумную эру.

[coll3ctor]

вы при упрощениях кое-что забыли

[Someone]

REM в сообщении #486371 писал(а):

$t(t + 1)dx = -xdt | \cdot \frac{t(t + 1)}{x}$
$\frac{dx}{x} = -t(t+1)dt$

Вот это место поподробнее, пожалуйста. Как Вы там умножали обе части на то, на что Вы умножали.