тройной интеграл через цилиндрические координаты

[shashechka]

$\int \int \int\ 24/z^4$
по области $x^2 + y^2 \le\ z^2 $ $ y \ge\ 1 $ $ 0 \le\ z \ge\ 2 $
с чего правильнее начать? с графика?

[Dan B-Yallay]

С того, что выписать область интегрирования нормально. Пока что у Вас там "казнить нельзя помиловать".

[AKM]

Да я бы и интеграл прилично записал. Во избежание...

[shashechka]

область интегрирования есть
$x^2 + y^2 \le z^2 $
$ y \ge 1 $
$ 0 \le z \le 2 $

-- 24.09.2011, 17:19 --

вот так:
$\int \int \int\ \frac{24}{z^4} \, dx\,dy\,dz$ ?

АКМ:

Вы имели в виду $ 0 \le z \le 2 $ ?

-- 24.09.2011, 17:25 --

конечно

[AKM]

shashechka в сообщении #485963 писал(а):

с чего правильнее начать? с графика?

Надо увидеть область интегрирования, записать её в цилиндрических координатах, и в них же записать функцию и элемент объёма.

[shashechka]

у меня такое решение, но правильное оно или нет?

$24 \int \,df \int(1/p^3) \,dp \int \,dz$ = $24 .2 \, pi . 2 \int(1/p^3) \, dp$ = $-3\, pi/4$

[Dan B-Yallay]

shashechka в сообщении #485999 писал(а):

у меня такое решение, но правильное оно или нет?
$24 \int \,df \int(1/p^4) \,dp \int \,dz$

А пределы интегрирования какие?

[shashechka]

первый интеграл от 0 до $2 \,pi$ по $\,df$
второй от 0 до 16 по $\,dp$
третий от 0 до 2 по $\,dz$

[Dan B-Yallay]

shashechka в сообщении #486008 писал(а):

первый интеграл от 0 до $2 \,pi$ по $\,df$
второй от 0 до 16 по $\,dp$
третий от 0 до 2 по $\,dz$

Во первых, пределы неверные.. Как посоветовал AKM надо сначала представить обьем, ограниченный условиями.
Во вторых, как Вы посчитали второй интеграл? Тот который $\displaystyle \int_0^{16} \dfrac{1}{p^4} \ dp$
Что=то у вас нехорошее с задачкой. Или пределы или подынтегральная функция неправильные.

[shashechka]

там не 4ая степень а третья))) я исправила
а получается "объем-фигура" находится в первом октанте и тогда первый интеграл до $\,pi/2$?

[Dan B-Yallay]

shashechka в сообщении #486016 писал(а):

там не 4ая степень а третья))) я исправила

Покажите с третьей. Все равно бесконечность.

shashechka в сообщении #486016 писал(а):

а получается "объем-фигура" находится в первом октанте и тогда первый интеграл до $\,pi/2$?

У меня получилась фигура в первом и втором октанте, но симметричная, поэтому - да, можно до $\pi/2$, но тогда интеграл надо на 2 домножить

[shashechka]

да поняла почему в первом и втором октанте
фигура ведь это цилиндр? или из-за того что не знак меньше, то конус? думаю что цилндр, а условие $y \ge 1$ отрезает часть цилиндра, так и получается искомый объем?

[Dan B-Yallay]

Фигура - это часть цилиндра высотой и радиуса 2 - "вынутый" из него конус, отрезанная плоскостью $y=1$

[shashechka]

про z это условие задачи...
а вершина конуса в z=2?

[Dan B-Yallay]

Нет, в $z=0$