Условная вероятность. Проверьте решение плиз.

[fedornovikov]

Множество событий: $\Omega=\lbrace w_1,w_2,w_3\rbrace$]. F - множество всех подмножеств $\Omega$

$$P(\lbrace w_1\rbrace)=0.5, P(\lbrace w_2\rbrace)=0.3, P(\lbrace w_3\rbrace)=0.2 $$

$$G=\lbrace \lbrace w_1\rbrace, \lbrace w_2,w_3\rbrace, \varnothing, \Omega \rbrace$$

$S$ - некоторая случайная величина на $\Omega$. Нужно найти: $E[S|G]$

Верно ли что решение:

$$E[S|G] = \frac{E[S|1_\lbrace _w_1_\rbrace]}{P(\lbrace w_1\rbrace)}1_\lbrace _w_1_\rbrace + \frac{E[S|1_\lbrace _w_1,_w_2_\rbrace]}{P(\lbrace w_1,w_2\rbrace)}1_\lbrace _w_1_, _w_2_\rbrace=S(w_1)1_\lbrace _w_1_\rbrace + \frac{S(w_2)P(w_2)+S(w_3)P(w_3)}{P(\lbrace w_1,w_2\rbrace)}1_\lbrace _w_1_, _w_2_\rbrace $$

Спасибо!
PS индексы у маленьких $_w$ получились такие же как сами $_w$, но естественно это нормальные индексы.

[--mS--]

Ну если в первом выражении после равенства заменить условные матожидания на матожидания по множествам, а во втором поправить индексы, а ещё убрать lbrace и rbrace и нормально оформить индексы, то верно:

$$E[S|G] = \frac{\mathsf E[S \cdot 1_{\{w_1\}}]}{\mathsf P(\{w_1\})}1_{\{w_1\}} + \frac{\mathsf E[S \cdot 1_{\{w_2, w_3\}}]}{\mathsf P(\{w_2,w_3\})}1_{\{w_2, w_3\}}=S(w_1) 1_{\{w_1\}} + \frac{S(w_2)\mathsf P(w_2)+S(w_3)\mathsf P(w_3)}{\mathsf P(\{w_1,w_2\})}1_{\{w_1, w_2\}}$$

[fedornovikov]

--mS-- в сообщении #485802 писал(а):

Ну если в первом выражении после равенства заменить условные матожидания на матожидания по множествам, а во втором поправить индексы, а ещё убрать lbrace и rbrace и нормально оформить индексы, то верно:

$$E[S|G] = \frac{\mathsf E[S \cdot 1_{\{w_1\}}]}{\mathsf P(\{w_1\})}1_{\{w_1\}} + \frac{\mathsf E[S \cdot 1_{\{w_2, w_3\}}]}{\mathsf P(\{w_2,w_3\})}1_{\{w_2, w_3\}}=S(w_1) 1_{\{w_1\}} + \frac{S(w_2)\mathsf P(w_2)+S(w_3)\mathsf P(w_3)}{\mathsf P(\{w_1,w_2\})}1_{\{w_1, w_2\}}$$

Да, условное ожидание после равенства действительно лишнее. Спасибо!

[arseniiv]

fedornovikov в сообщении #485746 писал(а):

PS индексы у маленьких $_w$ получились такие же как сами $_w$, но естественно это нормальные индексы.

Сравните $A_b_c$ и $A_{b_c}$ (наведите мышку на формулы, чтобы увидеть их код).