Пространство Шварца

[Nimza]

1) Какие преобразования функции $f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ оставляют её в пространстве Шварца? Есть какая-нибудь литература, где направленно перечисляют с доказательствами такие преобразования?

2) Ну и конкретно вот такое преобразование. Пусть $f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$, положим

$q(s,\theta) = \int\limits_{\mathbb{R}} f(s\theta^{\bot} + t \theta) dt, \; (s,\theta) \in \mathbb{R}\times\mathbb{S}^{1},$

где $\theta^{\bot}$ получается из $\theta$ поворотом на $\pi/2$ против часовой стрелки. На чём я застрял:

$\sup\limits_{s,\theta} \left| x^\beta \partial^{\alpha} q(s,\theta) \right| \leqslant \int\limits_{\mathbb{R}} \sup\limits_{s,\theta} \left| x^\beta \partial^{\alpha}f(s\theta^{\bot} + t\theta) \right| dt, \; x =(s,\theta).$

Как показать, что супремум тут интегрируется? Или есть другой путь?

[ewert]

Nimza в сообщении #483951 писал(а):

Как показать, что супремум тут интегрируется?

Я не разбирался, что у Вас за преобразование. Но как он может не интегрироваться, если всё-всё такое гладкое-гладкое и убывает быстрее любой-любой степени?...

[Nimza]

Но тем не менее, из того, что $f(x)$ шварцева функция, следует лишь, что этот супремум конечен. Как-то с $t$ наверное надо играть в последнем интеграле, чтобы показать, что супремум убывает быстро с ростом $|t|$.