Функция от двух случайных величин

[re3burn]

Найти распределение случайной величины $$\varphi = \frac \xi {\xi+\eta}$, если величины $\xi$ и $\eta$ независимы и равномерно распределены в интервале $[0, 1]$.
Решение. Функцию распределения величины $\varphi$ находим по формуле

$$ F_{\phi}(z)=P(\phi<z)=P(\frac \xi {\xi+\eta}<z)=\int\limits_ {\frac \xi {\xi+\eta}<z}\int\ f(x,y)dxdy $$

Т.к. величины $\xi$ и $\eta$ независимы, то $f(x,y)=f_{\xi}(x)\cdot f_{\eta}(y)$.
По условию

$$ f_{\xi}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\notin$[0;1],}\\ 1,&\text{$x$\in$[0;1].} \end{cases}$$

$$f_{\eta}(y)=\begin{cases} 0,&\text{$y$\notin$[0;1],}\\ 1,&\text{$y$\in$[0;1].} \end{cases}$$

Дальше - ступор. Не понимаю, что надо делать.

[ewert]

re3burn в сообщении #483691 писал(а):

Функцию распределения величины $\varphi$ находим по формуле

$$ F_{\phi}(z)=P(\phi<z)=P(\frac \xi {\xi+\eta}<z)=\int\limits_ {\frac \xi {\xi+\eta}<z}\int\ f(x,y)dxdy $$

Почти правильно. Только вместо $\xi$ и $\eta$ в последнем интеграле следует использовать $x$ и $y$, раз уж Вы интегрируете именно по $x$ и $y$ (ну или наоборот, конечно). Ну так просто посчитайте площадь части квадрата, отсекаемой условием $\frac{x}{x+y}\leqslant z.$ Соответствующее равенство задаёт просто прямую, проходящую через начало коорднат и с наклоном, зависящим от $z$, так что там даже интегрировать ничего не придётся. Только не забудьте рассмотреть все четыре случая для значений $z$.

[re3burn]

ewert в сообщении #483695 писал(а):

Соответствующее равенство задаёт просто прямую, проходящую через начало коорднат и с наклоном, зависящим от $z$, так что там даже интегрировать ничего не придётся. Только не забудьте рассмотреть все четыре случая для значений $z$.

Вот этот момент и мне и непонятен...Из каких соображений берутся варианты для $z$?

[ewert]

re3burn в сообщении #483703 писал(а):

...Из каких соображений берутся варианты для $z$?

Из естественных. Какие значения эта дробь заведомо принимать не может -- и какие могла бы, хотя бы в принципе? Для значений, которые она могла бы принимать (хотя бы в принципе) надо нарисовать картинку; там будут два варианта пересечения упомянутой прямой и сторон квадрата.

[re3burn]

ewert в сообщении #483705 писал(а):

re3burn в сообщении #483703 писал(а):

...Из каких соображений берутся варианты для $z$?

Из естественных. Какие значения эта дробь заведомо принимать не может -- и какие могла бы, хотя бы в принципе? Для значений, которые она могла бы принимать (хотя бы в принципе) надо нарисовать картинку; там будут два варианта пересечения упомянутой прямой и сторон квадрата.

Дробь может принимать значения в интервале $[0, 1]$.
Нужно рассмотреть следующие случаи:
$z<0$
$0\leqslant z\leqslant0,5$
$0,5\leqslant z\leqslant 1$
$z>1$
Я правильно понимаю?

[ewert]

re3burn в сообщении #483711 писал(а):

Не понятно, как нарисовать картинку

У Вас каждая из одномерных плотностей задана кусочно (ось разбита на три промежутка). Тем самым вся плоскость разбивается на $3\times3=9$ участков. Чему равна совместная плотность $f(x,y)$ для каждого из этих участков? По какой области Вы тем самым фактически берёте двойной интеграл -- и что именно интегрируете?

[re3burn]

ewert в сообщении #483719 писал(а):

re3burn в сообщении #483711 писал(а):

Не понятно, как нарисовать картинку

У Вас каждая из одномерных плотностей задана кусочно (ось разбита на три промежутка). Тем самым вся плоскость разбивается на $3\times3=9$ участков. Чему равна совместная плотность $f(x,y)$ для каждого из этих участков? По какой области Вы тем самым фактически берёте двойной интеграл -- и что именно интегрируете?

Интегрирую по единичному квадрату

[ewert]

re3burn в сообщении #483722 писал(а):

Интегрирую по единичному квадрату

Вот и интегрируйте. Условие под значком интеграла означает ровно то, что от квадрата этим условием что-то отсекается (а бывает, что и не отсекается). Кстати, двойной и тройной интегралы принято кодировать командами \iint и \iiint:

$$\iint\limits_{<...>} \qquad \iiint\limits_{<...>}$$

[re3burn]

Для $z<0$ $F_{\varphi}(z)=0$

[ewert]

re3burn в сообщении #483729 писал(а):

Для $z<0$ $F_{\varphi}(z)=0$

Ну вот видите -- на четверть Вы задачу уже решили. Дерзайте дальше.

[re3burn]

Дальше не совсем понятно...
Для $ 0\leqslant z\leqslant 0,5 $

$$F_{\varphi}(z)=\iint\limits_ {\frac x {x+y}<z}\ f_{\xi}(x) \cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ 0^1\ dy\int\limits_ 0 ^ y\ dx=\frac 1 2$$

[ewert]

re3burn в сообщении #483738 писал(а):

Для $ 0\leqslant z\leqslant 0,5 $

$$F_{\varphi}(z)=\iint\limits_ {\frac x {x+y}<z}\ f_{\xi}(x) \cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ 0^1\ dy\int\limits_ 0 ^ y\ dx=\frac 1 2$$

Внутренний верхний предел неверен. Откуда Вы его взяли?

[re3burn]

ewert в сообщении #483739 писал(а):

re3burn в сообщении #483738 писал(а):

Для $ 0\leqslant z\leqslant 0,5 $

$$F_{\varphi}(z)=\iint\limits_ {\frac x {x+y}<z}\ f_{\xi}(x) \cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ 0^1\ dy\int\limits_ 0 ^ y\ dx=\frac 1 2$$

Внутренний верхний предел неверен. Откуда Вы его взяли?

Искомая площадь - треугольник. Из геометрических соображений понятно, что его площадь равна $\frac 1 2$, т.к. она составляет половину от площади единичного квадрата. А проинтегрировал, чтобы по определению найти: верхний предел взял из того, что $x=y$ - уравнение линии, пересекающей квадрат.

[ewert]

re3burn в сообщении #483743 писал(а):

Искомая площадь - треугольник. Из геометрических соображений понятно

Пока что не понятно (Вам). И не будет понятно, пока не сообразите, чему равен второй катет этого треугольника. Как выглядит уравнение гипотенузы?

[re3burn]

ewert в сообщении #483744 писал(а):

re3burn в сообщении #483743 писал(а):

Искомая площадь - треугольник. Из геометрических соображений понятно

Пока что не понятно (Вам). И не будет понятно, пока не сообразите, чему равен второй катет этого треугольника. Как выглядит уравнение гипотенузы?

А понял. Из выражения $\frac x {x+y}=z$ после преобразований получаем $y=\frac {1-z} {z}x$ и далее $x=\frac {z} {1-z}y$.

-- Сб сен 17, 2011 18:40:52 --

После подстановки для $ 0\leqslant z\leqslant 0,5 $ получаем

$$F_{\varphi}(z)=\iint\limits_ {\frac x {x+y}<z}\ f_{\xi}(x) \cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ 0^1\ dy\int\limits_ 0 ^ {\frac z {1-z} y}\ dx=\frac z {2-2z}$$