Решение дифференциального уравнения

[give_up]

Помогите разобраться, что есть такое решение дифф. уравнения. В учебниках нашел определение вида:
"Функция $\[\varphi (t)\]$ является решением дифф. уравнения $\[f(t,y,y') = 0\]$, если:
1)$\[\varphi (t)\]$ определена на $\[(\alpha ,\beta )\]$
2)$\[\varphi '(t)\]$ непрерывна на $\[(\alpha ,\beta )\]$
3)$\[f(t,\varphi (t),\varphi '(t)) = 0\]$ на $\[(\alpha ,\beta )\]$,
где вместо интервала $\[(\alpha ,\beta )\]$ можно взять отрезок или полуинтервал с концами $\[\alpha ,\beta \]$.
Но я не могу объяснить с помощью этого определения, почему, к примеру, кривая $x=-1$ является решением дифф. уравнения $\[y' - \frac{{y + 2}}{{x + 1}} - \tg\left( {\frac{{y - 2x}}{{x + 1}}} \right)=0\]$. (этот пример взят из решебника "Антидемидович"). Ведь пункт 3) определении решения не выполняется при подстановке $x=-1$ в данное уравнение (получается деление на ноль при подстановке).

И еще скажите, будет ли $x=0$ являться решением уравнения $\[xy' - y = (x + y)\ln \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\]$

[mihailm]

Это все-таки условности, не стоит так активно на этом заморачиваться)
А чтобы проверять являются ли кривые вида $x=f(y)$ решением, надо в уравнении поменять местами функцию и переменную

[gris]

Если мы рассмотрим $x$ как функцию $y$, то возникнет такое перевёрнутое уравнение:

$\dfrac {dx}{dy}=\left( \dfrac{y + 2}{x + 1} - \tg\left( \dfrac{y - 2x}{x + 1} \right) \right)^{-1}$, для которого функция $x(y)=-1$ будет решением (особым). Это так сказать геометрическая интерпретация, когда в качестве решений рассматриваются кривые, касательные к полю направлений, определяемого уравнением.

А, уже сказали.

[give_up]

Спасибо.
Ну а как быть если решение вообще не является функцией $y=f(x)$ или $x=f(y)$? К примеру решение уравнения $\[\frac{2}{3}xyy' = \sqrt {{x^6} - {y^4}} + {y^2}\]$ имеет вид $\[\arcsin \left( {\frac{{{y^2}}}{{\left| {{x^3}} \right|}}} \right) = \ln (C{x^3})\]$. Как проверить является ли эта кривая действительно решением (вдруг я ее наугад подобрал и хочу проверить )??

[gris]

А часто решением бывает неявная функция, графически представляемая окружностью или спиралью или ещё какой замысловатой кривой (семейством кривых в случае общего решения).
Ищите производную неявной функции, подставляйте, проверяйте.
Хотя если присмотреться, то после некоторого вежливого обхождения с модулем и дифференцирования равенства по $x$ ровно Ваше уравнение и получается

[give_up]

Ясно.
Но вот появился новый вопрос к уравнению $\[xy' - y = (x + y)\ln \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\]$. Хочу проверить, является ли $x=0$ решением этого уравнения. От функции $y=f(x)$ перейдем к функции $x=f(y)$ Получаем уравнение вида: $\[x'((x + y)\ln \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right) + y) = x\]$. Как тут подставлять $x=0$? Я думаю, что нужно вычислять предел при $\[x \to 0\]$.
Тогда получим верное тождество ($\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (xy\ln \left( {\frac{y}{x}} \right)) = 0\]$) и делаем вывод, что $x=0$ является решением. Так надо поступать в данном случае?

[give_up]

Или нет?

[give_up]

Ну ответьте же кто-нибудь на мой вопрос, уже сутки жду, напишите пожалуйста две или три буквы. (да , нет)

[ИСН]

Нет.

[give_up]

а почему?

[SpBTimes]

Самое простое рассматривать уравнение в виде:
$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

[ИСН]

give_up в сообщении #480602 писал(а):

а почему?

потому что иначе придётся делить на ноль, чего нельзя. А предел, хренедел - это всё лирика.

[give_up]

А почему тогда gris 06.09.2011 третьем посте этой темы сказал, что $x=-1$ есть особое решение для $\dfrac {dx}{dy}=\left( \dfrac{y + 2}{x + 1} - \tg\left( \dfrac{y - 2x}{x + 1} \right) \right)^{-1}$? Там ведь мы тоже получаем деление на ноль.