Абсолютная сходимость ряда

[integral2009]

Как исследовать такой ряд на сходимость?

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos n\cos\frac{1}{n}}{n^{1/4}}$

Интересует именно абсолютная сходимость. Не придумать оценку снизу .

Сверху есть вариант:

$\Big|\dfrac{\cos n\cos\frac{1}{n}}{n^{1/4}}\Big|<\dfrac{1}{n^{1/4}}$

Но из расходимости $\sum\dfrac{1}{n^{1/4}}$ не следует расходимость $\sum\Big|\dfrac{\cos n\cos\frac{1}{n}}{n^{1/4}}\Big|$, так как это оценка сверху

(Оффтоп)

Если ряд абсолютно расходится, то по признаку Дирихле он сойдется условно.

Частичные суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos k}$ ограничены, а $\dfrac{\cos\frac{1}{n}}{n^{1/4}}$ монотонно стремится к нулю

[xmaister]

Может напишу глупость, но у меня получилось, что $\frac{|\cos n|}{\sqrt[4]n}>\frac{C}{n^{\mu -\frac34}}$, где $\mu$- мера иррациональности $\pi$.

-- 29.08.2011, 07:15 --

Чёрт, это ничего не даст. $\mu <7.6063$

[Sonic86]

Можно для $\cos \frac{1}{n}$ использовать формулу $\cos a = 1 - \frac{a^2}{2} + O(a^4)$.

[Whitaker]

Не знаю конечно, но можно сделать так.
1) Сам ряд сходится в силу Признака Дирихле.
2) Рассмотрим его на абсолютную сходимость.
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{\cos n\cos\frac{1}{n}}{n^{1/4}}\Big|$
Но ведь при $n \to \infty$ $\cos \dfrac{1}{n} \sim 1$. Используйте это.

[xmaister]

Получилось, что расходится $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n}\ge\alpha\sum\limits_{n=1}\frac1{n}$

[Whitaker]

xmaister в сообщении #478452 писал(а):

Получилось, что расходится $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n}\ge\alpha\sum\limits_{n=1}\frac1{n}$

Что такое $\alpha$ ?
Но можно сделать по-лучше использовав оценку: $|\cos n| \geq |\cos^2{n}|=\cos^2{n}=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$

[xmaister]

некоторая постоянная $\alpha\in (0,1)$

-- 29.08.2011, 08:22 --

Whitaker
Точно . Я просто по другому оценивал, но у Вас однозначно проще.

[integral2009]

Whitaker в сообщении #478453 писал(а):

xmaister в сообщении #478452 писал(а):

Получилось, что расходится $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n}\ge\alpha\sum\limits_{n=1}\frac1{n}$

Что такое $\alpha$ ?
Но можно сделать по-лучше использовав оценку: $|\cos n| \geq |\cos^2{n}|=\cos^2{n}=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$

Ох, точно, спасибо, красиво, понятно! А если б был синус в числителе?:))

$|\cos n| \geq |\sin^2{n}|=\sin^2{n}=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$

[Praded]

Только в первом модуле д.б. $|\sin n|$.

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478487 писал(а):

А если б был синус в числителе?:))

$|\cos n| \geq |\sin^2{n}|=\sin^2{n}=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$

Ну уж не так

[ewert]

Sonic86 в сообщении #478450 писал(а):

Можно для $\cos \frac{1}{n}$ использовать формулу $\cos a = 1 - \frac{a^2}{2} + O(a^4)$.

И даже нужно; только это явный перебор. Вполне достаточно $\cos a = 1 + O(a^2)$ (и даже просто $\cos a = 1 + O(a)$, для чего вообще никаких формул знать не надо, достаточно лишь дифференцируемости косинуса).

[xmaister]

(Оффтоп)

1 вопрос:

xmaister в сообщении #478443 писал(а):

$\frac{|\cos n|}{\sqrt[4]n}>\frac{C}{n^{\mu -\frac34}}$

это верная оценка или я где-то ошибся?

[ewert]

xmaister в сообщении #478571 писал(а):

это верная оценка или я где-то ошибся?

Лень вникать в детали, но во всяком случае эта оценка в данной задачке уж слишком чудовищно грубая. Не говоря уж о том, что любая мера иррациональности всяко не меньше двойки.

[integral2009]

Про синус я имел ввиду вот что. Допустим нам нужно исследовать такой ряд на абсолютную сходимость.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n}$

$|\sin n| \geq |\sin^2{n}|=\sin^2{n}=\frac{1-\cos{2n}}{2}$

$\frac{|\sin n|}{n}\le \dfrac{1-\cos{2n}}{2n}$

$\frac{|\sin n|}{n}\le \dfrac{1}{2n}-\dfrac{\cos{2n}}{2n}$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n}$ расходится.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos{2n}}{2n}$ - расходится (только что убедились).

Разность расходящихся рядов -- может как сходиться, так и расходиться. Как доказать, что она расходится?)

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478663 писал(а):

расходится (только что убедились)

Условно то сходится. В чём проблема?