Одна задача, конденсаторы в цепи

[NiGHTeR]

Три пластины площадью $S$ расположены на расстоянии $d$ друг от друга. Средняя пластина несет заряд $q_0$. Пластины подключены к источнику с напряжением $U$ через резистор $R$ и конденсатор $C$. Какую работу нужно совершить, чтобы очень медленно сдвинуть левую пластину на $d/2$ вправо? Какое количество теплоты выделится при этом на резисторе?

Мое решение:

1) Емкость верхнего конденсатора: $C_0= \varepsilon_0 \frac{S}{2d}$ Его можно представить как последовательно соединенные два конденсатора. Заряд на каждом - $q_0$ Тогда, если заряд на нижнем - $q$ то:
$\frac{q_0}{C_0} + \frac{q}{C} = U$ Отсюда $q=C(U-\frac{q_0}{C_0})$
Тогда полная энергия в цепи: $E_0=\frac{q_0^2}{2C_0}+\frac{q^2}{2C}$

2)После того как сдвигаем пластину, изменяется емкость верхних конденсаторов, но заряд на них не меняется. Новые емкости: $C_0_1=\varepsilon_0 \frac{2S}{3d}$, $C_0_2=\varepsilon_0 \frac{2S}{d}$
Тогда новый заряд на нижнем конденсаторе $q_1$ :
$\frac{q_0}{C_0_1}+\frac{q_0}{C_0_2}+\frac{q_1}{C}=U$ Отсюда $q_1=C(U-q_0(\frac{1}{C_0_1}+\frac{1}{C_0_2}))$
Новая энергия: $E_1=\frac{q_0^2}{2C_0_1}+\frac{q_0^2}{2C_0_2}+\frac{q_1^2}{2C}+Q_{resistor}$
Разница этих двух энергий: $E_1-E_0=(q_1-q)U+A$ А-работа по перемещению пластины.
Далее, т.к. заряд верхней системы не меняется, то напряженность поля внутри него постоянна => $A=q_0 \Delta \varphi=q_0\frac{d}{2}\frac{q_0}{S\varepsilon_0}$
Дальше нам все известно, и можем найти $Q_resistor$. Все верно?

[incvezitor]

NiGHTeR в сообщении #478055 писал(а):

Какую работу нужно совершить

небольшая неточность, работу никакую не придётся совершать, т.к. пластина сама будет стремится влево, точнее, сказать какую работу совершит пластина, но это сути не меняет

NiGHTeR в сообщении #478050 писал(а):

После того как сдвигаем пластину, изменяется емкость верхних конденсаторов, но заряд на них не меняется.

это утверждение неправильно,
дальше не читал

[NiGHTeR]

почему неправильно? заряд пластины ведь не может измениться когда мы её двигаем

[incvezitor]

заряд бы не изменился будь конденсатор отключен от источника питания, а так при изменении положения пластины меняется и ёмкость конденсатора. Посчитайте какова ёмкость будет в первом и во втором случае. опять же не понятно, если заряд средней пластины равен $q_0$, откуда тогда следует что на двух других $-q_0$? ведь они подключены к источнику тока.

[NiGHTeR]

ну сначала должно быть так, т.к. как я понимаю сначала система в равновесии (а иначе был бы ток)

да я понял, сглупил(

как тогда найти заряды во всех конденсаторах после сдвига пластины?

[BISHA]

NiGHTeR в сообщении #478063 писал(а):

как тогда найти заряды во всех конденсаторах после сдвига пластины?

Найти новую емкость конденсатора. Зная подаваемое напряжение находим заряд на электродах, учитываем индукционные заряды (просто сумма с учетом знаков зарядов).

[incvezitor]

задача немного путанная, много лишнего. решение вижу таким находите ёмкость системы до сдвигания пластину, через формулу последовательного соединения трёх конденсаторов, затем ёмкость после сближения пластины. потом решаете интеграл $\int I^2Rdt$, где $I(t)$ ищете или в справочниках или в инете, зависимоть тока заряда коденсатора во времени, решаете интеграл и это будет требуемая энергия выделеемая на резисторе.

[NiGHTeR]

а никак не надо учитывать заряд, который был на пластине вначале?

-- Сб авг 27, 2011 17:05:46 --

incvezitor в сообщении #478077 писал(а):

задача немного путанная, много лишнего. решение вижу таким находите ёмкость системы до сдвигания пластину, через формулу последовательного соединения трёх конденсаторов, затем ёмкость после сближения пластины. потом решаете интеграл $\int I^2Rdt$, где $I(t)$ ищете или в справочниках или в инете, зависимоть тока заряда коденсатора во времени, решаете интеграл и это будет требуемая энергия выделеемая на резисторе.

Задачка-то школьная, должна решаться без интегрирования.

-- Сб авг 27, 2011 17:09:34 --

Все равно не могу понять как заряды найти:( только два уравнения получилось составить:

$\frac{q_0_1}{C_0_1}+\frac{q_0_2}{C_0_2}+\frac{q_1}{C}=U$;
$q_0_1+q_0_2+q_1=U(\frac{1}{C_0_1}+\frac{1}{C_0_2}+\frac{1}{C})$

[Александр Т.]

NiGHTeR в сообщении #478078 писал(а):

а никак не надо учитывать заряд, который был на пластине вначале?

Конечно надо.

Цитата:

Все равно не могу понять как заряды найти:( только два уравнения получилось составить:

$\frac{q_0_1}{C_0_1}+\frac{q_0_2}{C_0_2}+\frac{q_1}{C}=U$;
$q_0_1+q_0_2+q_1=U(\frac{1}{C_0_1}+\frac{1}{C_0_2}+\frac{1}{C})$

Третье уравнение как раз из учета заряда, "который был на пластине вначале", и получается. Ведь этот заряд по условию не изменяется:

$$ q_{02} - q_{01} = q_0 . $$

Обратите внимание, что здесь должна стоять именно разность, т.к. конденсатор со вставленной в него пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора.

Второе Ваше уравнение — неправильное. Вместо него нужно написать уравнение, выражающее условие равенства нулю заряда на правых пластинах "верхнего" и "нижнего" конденсаторов, соединенных через сопротивление

$$ q_{0C} - q_{01} = 0 , $$

где $q_{0C}$ обозначает заряд конденсатора $C$ в тот момент, когда расстояние между пластинами одинаковое.

[Александр Т.]

(У Вас вместо $q_{0C}$ используется обозначение $q_1$.) В результате получится система из трех уравнений для трех неизвестных $q_{01}$, $q_{02}$ и $q_{0C}$, которую нужно будет решить. Затем нужно выписать такую же систему уравнений для конечного состояния кннденсаторов, т.е. систему из трех уравнений для трех неизвестных $q_{11}$, $q_{12}$ и $q_{1C}$, и решить ее. Ну а что дальше делать, Вы, вроде бы, знаете.

[NiGHTeR]

Ну хорошо, в начале имеем систему:
$q_1+q_2=q_0$

$q_3=q_2$

$\frac{q_1}{C_0}+\frac{q_2}{C_0}+\frac{q_3}{C}=U$

где $q_1$, $q_2$, $q_3$ - заряды на 1, 2, 3 конденсаторе соответственно (верхнюю штуку из пластин делим на два конденсатора), $C_0$ - емкость верхних конденсаторов
Аналогично находим после перемещения пластины, а как найти работу по перемещению пластины?

[Александр Т.]

NiGHTeR в сообщении #478212 писал(а):

Ну хорошо, в начале имеем систему:
$q_1+q_2=q_0$
...
где $q_1$, $q_2$, $q_3$ - заряды на 1, 2, 3 конденсаторе соответственно (верхнюю штуку из пластин делим на два конденсатора), ...

Прочитайте внимательно то, что Вам было написано выше

Александр Т. в сообщении #478170 писал(а):

$$ q_{02} - q_{01} = q_0 . $$

Обратите внимание, что здесь должна стоять именно разность, т.к. конденсатор со вставленной в него пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора.

Чтобы было понятно, почему должна быть разность, а не сумма, расставьте на схеме с тремя конденсаторами над каждой из пластин заряд, который на ней находится, т.е. $+q_{01}$, $-q_{01}$, $+q_{02}$, $-q_{02}$, $+q_{0C}$ и $-q_{0C}$ соответственно.

[BISHA]

Александр Т. в сообщении #478170 писал(а):

Обратите внимание, что здесь должна стоять именно разность, т.к. конденсатор со вставленной в него пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора.

Можно и не учитывать металлическую пластину, т.к. распределение силовых линий не меняется. В конце учесть наведенные заряды.

[NiGHTeR]

Цитата:

Прочитайте внимательно то, что Вам было написано выше

да, поторопился
спасибо, с этим разобрался, а как найти работу по перемещению пластины?

[Александр Т.]

NiGHTeR в сообщении #478402 писал(а):

а как найти работу по перемещению пластины?

Нужно вычислить полную силу, действующую со стороны электрического поля на пластину зарядом $q_0$, для всех положений этой пластины

$$ F = - q_1 E_1 + q_2 E_2 , $$

где $E_1$ и $E_2$ — напряженности электрического поля в конденсаторах 1 и 2 соотвестственно. Работа по перемещению пластины равна работе этой силы, взятой с противополжным знаком. Таким образом, нужно найти $q_1$ и $q_2$ (а также $E_1$ и $E_2$) не только для начального и конечного положений пластины, а для всех ее положений. Для того, чтобы найти работу, нужно, вообще говоря, взять соответствующий интеграл. Однако, проведя вычисления, решающий эту задачу с изумлением обнаружит, что $F$ зависит от перемещения пластины линейно, и, таким образом, работу можно вычислить как площадь соответствующей трапеции (или разности площадей соответствующих треугольников) на графике зависимости силы от перемещения пластины.