Необычное подмножество нечётных чисел

[Xenia1996]

Эту задачу я придумала и решила сама прошлой ночью. Думаю, сгодится для районной олимпиады.

Существуют ли такие нечётные натуральные числа $n_1<n_2<\dots<n_{2011}$, что $\text{НОД}(n_1, n_2)>\text{НОД}(n_2, n_3)>\dots>\text{НОД}(n_{2010}, n_{2011})$?

[ИСН]

2011 - это очень много, практически за пределами восприятия. Пусть будет 4.
Тогда вот эти числа: $11\cdot3,\,11\cdot7,\,7\cdot5^2,5\cdot3^4$.
А в чём пойнт требования нечётности? Без него - всё то же самое, плюс можно юзать двойку.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #475007 писал(а):

2011 - это очень много, практически за пределами восприятия. Пусть будет 4.
Тогда вот эти числа: $11\cdot3,\,11\cdot7,\,7\cdot5^2,5\cdot3^4$.
А в чём пойнт требования нечётности? Без него - всё то же самое, плюс можно юзать двойку.

Можно проще

Возьмём следующие 4021-значные числа в троичной системе счисления:

10000000000...000
11100000000...000
11111000000...000
11111110000...000

....
....

11111111111...111

[TOTAL]

$n_i=p_i3^{2011-i},$ где $p_{i+1}/p_i> 3 -$ разные простые

[nnosipov]

Да, для районной вполне потянет. Но мне тоже непонятно, зачем нужна нечётность --- это совсем не усложняет задачу, конструкция с произведениями простых чисел (в каждом следующем --- на один сомножитель больше) напрашивается сама собой.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #475015 писал(а):

Да, для районной вполне потянет. Но мне тоже непонятно, зачем нужна нечётность --- это совсем не усложняет задачу, конструкция с произведениями простых чисел (в каждом следующем --- на один сомножитель больше) напрашивается сама собой.

Если отбросить требование нечётности, тогда уж совсем просто будет:

10000000...00
11000000...00
11100000...00
11110000...00
....
11111111...11

в двоичной

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #475018 писал(а):

в двоичной

Мысль о двоичной (и прочих) системе мне совсем в голову не пришла. Но это хорошо для школьной олимпиадной задачи, когда она имеет много подходов к решению.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #475020 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #475018 писал(а):

в двоичной

Мысль о двоичной (и прочих) системе мне совсем в голову не пришла. Но это хорошо для школьной олимпиадной задачи, когда она имеет много подходов к решению.

Кстати, и в десятичной можно, если нет требований чётности или нечётности

[Sender]

Для усложнения можно потребовать, чтобы все НОД-ы были простыми. :)

[ИСН]

В моём варианте они и были.

[TOTAL]

ИСН в сообщении #475030 писал(а):

В моём варианте они и были.

В моём НОД каждый раз уменьшался ровно в 3 раза - это намного круче!