вопрос по уравнению Дирака...

[timn]

Уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, разобраться: какой физический смысл $\psi $ в уравнении Дирака $\left(\beta mc^2 + \sum_{k = 1}^3 \alpha_k p_k \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t) }{\partial t} $ (где $\gamma^0 = \beta$, $\gamma^k = \gamma^0 \alpha^k$), или - что то же самое - $-i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m c \psi = 0 $ ?
Можно ли говорить, что $\psi $ - 4-компонентная волновая функция частицы? - в пользу этого то, что, во-первых,
$J^0 = \bar \psi \gamma ^0 \psi = \psi ^ + \psi $ - плотность вероятности, а во-вторых, - что решение уравнения Дирака во внешнем кулоновом поле в книге Давыдова "Квантовая механика" рассматривается как релятивистское решение задачи про атом водорода.

Вместе с тем, совершенно непонятно, как будет выглядеть уравнение Дирака для системы нескольких взаимодействующих электронов?
Да и к тому же, в русской википедии: "Уравнение Дирака описывает не амплитуду вероятности для одного электрона, как могло бы показаться, а величину, связанную с плотностью заряда и тока дираковской частицы: в силу сохранения заряда сохраняется величина, которую считали полной вероятностью нахождения частицы. Таким образом, уравнение Дирака — с самого начала многочастичное."

Может тогда $\psi $ - не волновая функция, а просто некое "поле", только проквантовав которое мы получаем право говорить, что уравнение Дирака описывает движение частиц? Но тогда почему удается без квантования этого поля решить задачу про атом водорода?

Правильно ли говорить, что уравнение Палуи является предельным случаем уравнения Дирака? Но как тогда обобщить уравнение Паули на случай системы из нескольких электронов?

В общем, я запутался...
Заранее благодарю за помощь!

[Munin]

Есть две теории: квантовая механика (одночастичная теория) и квантовая теория поля. В обе входит уравнение Дирака, только смысл в символ $\psi$ в этих теориях вкладывается разный. Однако внешний вид уравнения сохраняется, поэтому говорят, что и то и другое - уравнение Дирака.

timn в сообщении #473133 писал(а):

Можно ли говорить, что $\psi $ - 4-компонентная волновая функция частицы?

Можно - в одночастичной теории. Но такая интерпретация не будет до конца последовательной. Будут существовать такие потенциалы, при движении в которых нормировка $\psi$ не сохраняется (это соответствует рождению и уничтожению частиц, что требует многочастичного описания КТП). С другой стороны, в некоторых задачах этим эффектом можно пренебречь, и рассматривать одночастичную интерпретацию как хорошее приближение.

timn в сообщении #473133 писал(а):

Вместе с тем, совершенно непонятно, как будет выглядеть уравнение Дирака для системы нескольких взаимодействующих электронов?

Так же. Только $\psi$ будет не волновой функцией, а оператором, "измеряющим" наличие в данной точке пространства-времени электрона. Этот оператор безразличен к тому, какой электрон из нескольких ему попадётся.

timn в сообщении #473133 писал(а):

Может тогда $\psi $ - не волновая функция, а просто некое "поле", только проквантовав которое мы получаем право говорить, что уравнение Дирака описывает движение частиц?

Да, в полевой интерпретации $\psi$ - поле, только уже квантовое. Это классическое поле надо квантовать. А с этим полем этого шага делать не надо. Более того, для этого квантового поля не существует (в привычном смысле) классического, квантованием которого получается данное квантовое поле (это связано с тем, что данное поле имеет описывает фермионы, а не бозоны).

timn в сообщении #473133 писал(а):

Но тогда почему удается без квантования этого поля решить задачу про атом водорода?

Потому что в задаче про атом водорода ошибка одночастичной интерпретации очень мала: оцените размер области, в которой энергия электрона становится сравнима с его массой, и интеграл квадрата волновой функции (например, в 1s-состоянии) по этой области.

timn в сообщении #473133 писал(а):

Правильно ли говорить, что уравнение Палуи является предельным случаем уравнения Дирака? Но как тогда обобщить уравнение Паули на случай системы из нескольких электронов?

Можно так говорить. А многочастичный вариант уравнения Паули - предельный случай многочастичной интерпретации уравнения Дирака - строится как обычное многочастичное уравнение тождественных частиц. Рождение и уничтожение в этом предельном случае несущественны, и пользоваться аппаратом вторичного квантования не обязательно.

-- 03.08.2011 17:33:10 --

P. S. В ЛЛ-4 волновая функция обозначается $\psi,$ а соответствующий оператор поля - то $\psi,$ то $\hat{\psi},$ но в этой книге очень многие обозначения отличаются от общепринятых. В КТП крышечек не ставят.

[timn]

Спасибо за Ваш ответ. Правда, он вызвал у меня ряд новых вопросов...

Munin в сообщении #473216 писал(а):

А многочастичный вариант уравнения Паули - предельный случай многочастичной интерпретации уравнения Дирака - строится как обычное многочастичное уравнение тождественных частиц.

Но что Вы имеете ввиду под "как обычное многочастичное уравнение тождественных частиц"?
Пускай частицы тождественны, но взаимодействия нету.
Тогда правильно ли я Вас понял, что многочастичный вариант уравнения Паули будет иметь вид $i\hbar \frac{{\partial \psi }} {{\partial t}} = \hat H\psi $, в котором $\hat H = \sum\limits_i {\frac{1}{2m}\cdot\left( {\hat \vec \sigma _i \cdot \vec p_i } \right)^2 } $ - сумма гамильтонианов Паули ?
Если да, то что в нем $\psi $ - все еще двухкомпонентная функция, компоненты которой зависят от координат всех частиц и времени?
Или "в наследство" от более общей теории при нерелятивистском переходе нам достается еще некое требование некой антисимметричности $\psi $ ?

И, если позволите, еще несколько вопросов?

Munin в сообщении #473216 писал(а):

Только $\psi$ будет не волновой функцией, а оператором, "измеряющим" наличие в данной точке пространства-времени электрона.

Не подскажете ли литературу, где можно подробнее узнать о столь наглядном объяснении смысла оператора $\hat \psi $ ?
Я пробовал познать основы кпт по Пескину-Шредеру, но безуспешно - как раз самые основы там, как по мне, изложены уж больно кратко...

Munin в сообщении #473216 писал(а):

Да, в полевой интерпретации $\psi$ - поле, только уже квантовое. Это классическое поле надо квантовать. А с этим полем этого шага делать не надо.

Его не нужно квантовать потому, что то уравнение Дирака, которое в кпт, сразу записано относительно оператора?

Спасибо!

[Munin]

timn в сообщении #473258 писал(а):

Спасибо за Ваш ответ. Правда, он вызвал у меня ряд новых вопросов...

Это самая лучшая реакция на объяснения, надеюсь, смогу отвечать и дальше.

timn в сообщении #473258 писал(а):

Но что Вы имеете ввиду под "как обычное многочастичное уравнение тождественных частиц"? Пускай частицы тождественны, но взаимодействия нету.Тогда правильно ли я Вас понял, что многочастичный вариант уравнения Паули будет иметь вид $i\hbar \frac{{\partial \psi }} {{\partial t}} = \hat H\psi $, в котором $\hat H = \sum\limits_i {\frac{1}{2m}\cdot\left( {\hat \vec \sigma _i \cdot \vec p_i } \right)^2 } $ - сумма гамильтонианов Паули ?

Да.

timn в сообщении #473258 писал(а):

Если да, то что в нем $\psi $ - все еще двухкомпонентная функция, компоненты которой зависят от координат всех частиц и времени?

Не двухкомпонентная, а $2^n$-компонентная, у каждой частицы своя спиновая переменная, на которую и действует оператор $\hat{\pmb{\sigma}}_i.$ Да.

timn в сообщении #473258 писал(а):

Или "в наследство" от более общей теории при нерелятивистском переходе нам достается еще некое требование некой антисимметричности $\psi $ ?

Достаётся, конечно, но оно в гамильтониан не входит, а записывается отдельно рядом, как условие на решения многочастичного волнового уравнения. И хотя по сути оно достаётся "в наследство" от более общей теории, в курсе квантовой механики его излагают первым и не как "наследство", а как эмпирический факт.

timn в сообщении #473258 писал(а):

Не подскажете ли литературу, где можно подробнее узнать о столь наглядном объяснении смысла оператора $\hat \psi $ ?Я пробовал познать основы кпт по Пескину-Шредеру, но безуспешно - как раз самые основы там, как по мне, изложены уж больно кратко...

Я не знаю одного такого учебника - я читал многие учебники, и литературу, не являющуюся собственно учебниками по КТП, и спрашивал лично у более знающих людей. Но могу порекомендовать Фейнмана - вообще, любые книги, но здесь, наверное, наиболее прицельно "Квантовая электродинамика".

Операторы рождения и уничтожения я вычитывал в "Квантовой механике" Мессиа, например. Осцилляторное представление поля - по кусочкам из разных мест Ландау-Лифшица. Фейнмановское квантование поля - по кусочкам из разных мест Фейнмана.

----
На самом деле, про оператор $\psi$ я слегка упростил. Оператором, измеряющим наличие электрона, является оператор уничтожения электрона $a.$ Причём он измеряет наличие электрона в данной волновой функции, а в данной точке - это надо взять $a$ в координатном представлении. А оператор $\psi$ чуть более сложен: $\psi=a+b^+,$ то есть он либо уничтожает электрон, либо рождает позитрон. Если электронная мировая линия идёт и заканчивается "снизу вверх", для нас это выглядит как рождение электрона, а если она идёт и заканчивается "сверху вниз" - то как рождение позитрона. Так что эти два слагаемых логично дополняют друг друга, позволяя "измерить наличие электрона" независимо от того, из прошлого или из будущего он в данную 4-мерную точку пришёл.

timn в сообщении #473258 писал(а):

Его не нужно квантовать потому, что то уравнение Дирака, которое в кпт, сразу записано относительно оператора?

Да.

[timn]

Munin в сообщении #473319 писал(а):

Это самая лучшая реакция на объяснения, надеюсь, смогу отвечать и дальше.

Тогда я иду "в дебри"... :)

Munin в сообщении #473319 писал(а):

timn в сообщении #473258 писал(а):

многочастичный вариант уравнения Паули будет иметь вид $i\hbar \frac{{\partial \psi }} {{\partial t}} = \hat H\psi $, в котором $\hat H = \sum\limits_i {\frac{1}{2m}\cdot\left( {\hat \vec \sigma _i \cdot \vec p_i } \right)^2 } $ - сумма гамильтонианов Паули ?

Да.
...
Не двухкомпонентная, а $2^n$-компонентная, у каждой частицы своя спиновая переменная, на которую и действует оператор $\hat{\pmb{\sigma}}_i.$

Я был бы очень признателен, если бы Вы уточнили, какой физический смысл у компонентов такой "многоразмерной" волновой функции? - это амплитуды вероятности всех возможных сочетаний спинов электронов?
Но еще более важен для меня следующий вопрос:
по каким правилам тогда действуют операторы Паули на $\psi$ ? Ведь эти операторы - матрицы 2 х 2, а $2^n$-компонентная $\psi$ - вообще не совсем понятно что

[Munin]

timn в сообщении #473330 писал(а):

Я был бы очень признателен, если бы Вы уточнили, какой физический смысл у компонентов такой "многоразмерной" волновой функции? - это амплитуды вероятности всех возможных сочетаний спинов электронов?

Да.

Точнее, вы можете перестать думать отдельно про координаты и спины. $3n$ действительных чисел плюс $n$ двоичных цифр (по спину на каждую частицу) задают вам состояние системы - точку в конфигурационном пространстве. Поэтому для квантовой системы вы просто должны всё это конфигурационное пространство заполнить функцией амплитуды вероятности. И дальше оно будет бултыхаться и эволюционировать. Если у вас какие-то более сложные частицы, то вы вместо одной двоичной цифры присваиваете ей её полный спектр состояний. Например, атом может находиться в одном основном и массе возбуждённых состояний. Эволюция будет включать в себя переходы между этими состояниями.

timn в сообщении #473330 писал(а):

по каким правилам тогда действуют операторы Паули на $\psi$ ? Ведь эти операторы - матрицы 2 х 2, а $2^n$-компонентная $2^n$ - вообще не совсем понятно что

Вы берёте $n$-мерный кубик с комплексными числами - амплитуды всех возможных сочетаний спинов электронов. Этот кубик можно представить себе как $2^{n-1}$ столбцов, каждый столбец подобен двухкомпонентному состоянию одного электрона. Вот на каждый такой столбец и действует оператор Паули для этого электрона. Вы ведь заметили, что у $\hat{\pmb{\sigma}}_i$ есть индекс $i$ - это номер электрона. Этот индекс указывает, по какой координате кубик воспринимается как столбцы. То есть операторов Паули у нас сейчас не 3, а $3n.$ ЛЛ-3 главы VIII и IX.

Самое сложное и самое интересное в этой спиновой науке - это то, что когда у нас есть несколько частиц со спинами, мы можем их воспринимать как одну целую частицу тоже с каким-то спином. В ЛЛ-3 описан самый общий случай, который понять сложно. Но суть простая, её можно показать на простейшем примере (кстати, этот простейший пример - заодно и самый часто используемый). Пусть у нас есть два электрона (забудем про их неразличимость), тогда они имеют четыре сочетания: $|\uparrow\uparrow\rangle,$ $|\uparrow\downarrow\rangle,$ $|\downarrow\uparrow\rangle,$ $|\downarrow\downarrow\rangle.$ Мы просто выбираем в этом пространстве другой базис, а именно, $|\uparrow\uparrow\rangle,$ $\tfrac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\downarrow\rangle+\tfrac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\uparrow\rangle,$ $|\downarrow\downarrow\rangle,$ $\tfrac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\downarrow\rangle-\tfrac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\uparrow\rangle,$ и оказывается, что первые три состояния связаны между собой как три компоненты спинового состояния некоей частицы со спином 1, а последнее состояние - ведёт себя инвариантно, как спиновое состояние частицы со спином 0. Соответственно, говорят, что два электрона между собой могут быть в триплетном или в синглетном состоянии (или в суперпозиции оных) - смотря по тому, как между этими состояниями нового базиса распределяется амплитуда вероятности.

По тому же принципу работают не только спиновая, но и другие группы в квантовой физике, например, цвета и сорта кварков. Это очень наглядно изложено в книжке Хелзен, Мартин "Кварки и лептоны".