Натуральные числа

[mikroz]

Все натуральные числа произвольным образом разбиты на две группы.

а) Докажите, что хотя бы в одной из них найдется арифметическая прогрессия из трех членов.
б) Верно ли, что хотя бы в одной из них обязательно найдется бесконечная геометрическая прогрессия?

[Руст]

a) три слишком просто. Думаю верно для любого конечного. Но для бесконечной не верно.
б) Так же для бесконечной не верно. Для каждого шага h и начального числа а геометрической прогрессии можно изьять из множества натуральных чисел числа вида $ah^{an^2}$ в одно из множеств. Тогда не будет бесконечной геометрической прогресии ни в одном из них.

[mikroz]

Руст в сообщении #471560 писал(а):

a) три слишком просто. Думаю верно для любого конечного. Но для бесконечной не верно.

И все же? (интересно, ибо я видел несколько вариантов рассуждения) :)

[alex1910]

mikroz в сообщении #471614 писал(а):

Руст в сообщении #471560 писал(а):

a) три слишком просто. Думаю верно для любого конечного. Но для бесконечной не верно.

И все же? (интересно, ибо я видел несколько вариантов рассуждения) :)

Ну, попробуйте доказать, что уже в разбиении 1,2,3,...,9 на два множества одно из множеств обязательно содержит арифм. прогрессию длины 3.

[mikroz]

alex1910 в сообщении #471619 писал(а):

mikroz в сообщении #471614 писал(а):

Руст в сообщении #471560 писал(а):

a) три слишком просто. Думаю верно для любого конечного. Но для бесконечной не верно.

И все же? (интересно, ибо я видел несколько вариантов рассуждения) :)

Ну, попробуйте доказать, что уже в разбиении 1,2,3,...,9 на два множества одно из множеств обязательно содержит арифм. прогрессию длины 3.

я решение знаю

[alex1910]

mikroz в сообщении #471622 писал(а):

я решение знаю

Ну да - теорема Ван-дер-Вардена и еще много аналогичных теорем из теории Рамсея.