Лемма Цорна - не могу включить мозг((

[lekma_axioma]

Всем привет.

Ковырялся с книжкой Верещагина/Шеня по началам теории множеств и доковырялся до леммы Цорна. Всё как бы до этого было понятно, а на этой теме извилины просто перестали шевелиться( Может это прозвучит странно, но в какие-то моменты она мне кажется очевидной, а иногда я вообще не понимаю, о чём она(( Особеено сильно мозг начинает плыть в попытках понять, какого чёрта её, наряду с теоремой Цермело, приравнивают к аксиоме выбора.

Был бы очень признателен человеческому объяснению сути теоремы с парой примеров/контрпримеров.

Спасибо

[caxap]

По-моему, лучше на примерах. Попробуйте доказать, что в любом векторном пространстве любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса (Гамеля).

[_hum_]

lekma_axioma
А вы хорошо представляете различие между понятиями наибольший элемент, максимальный элемент и верхняя грань?
caxap
Тогда уж лучше просто с задачи доказательства существования базиса Гамеля.

[lekma_axioma]

caxap в сообщении #470289 писал(а):

По-моему, лучше на примерах. Попробуйте доказать, что в любом векторном пространстве любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса (Гамеля).

Ну я уже пробовал подглядеть это доказательство с помощью леммы Цорна, но не увидел в этом смысла. Зачем смотреть доказательство с помощью леммы, смысла которой я не понимаю?

[caxap]

_hum_ в сообщении #470311 писал(а):

А вы хорошо представляете различие между понятиями наибольший элемент, максимальный элемент и верхняя грань?

Для этого полезны диаграммы Хассе. Про наибольший/максимальный элементы есть пример с коробками: наибольшая коробка --- это та, в которую можно положить все остальные, а максимальная --- которую никуда нельзя положить. Вообще говоря это не одно и то же; легко придумать конкретные примеры коробок. Максимальных коробок может быть сколько угодно.

-- 21 июл 2011, 20:08 --

lekma_axioma в сообщении #470317 писал(а):

Зачем смотреть доказательство с помощью леммы, смысла которой я не понимаю?

После теорему поймёте лемму. Идея применения леммы Цорна почти всегда одна и та же: требуется доказать существование максимального элемента по некоторому отношению порядка. Чтобы это сделать, нужно попытаться удовлетворить условиям леммы. Обычно это легко делается.

[lekma_axioma]

_hum_ в сообщении #470311 писал(а):

lekma_axioma
А вы хорошо представляете различие между понятиями наибольший элемент, максимальный элемент и верхняя грань?
caxap
Тогда уж лучше просто с задачи доказательства существования базиса Гамеля.

Ну конечно! На всякий случай приведу их (вдруг я где-то ошибаюсь в понятиях).
1. Максимальный элемент - тот, больше которого в данном ЧУМЕ не существует (утрируя: если взять множество попарно несравнимых элементов, то каждый из них будет максимальным в этом ЧУМе (и, к слову, минимальным))
2. Наибольший - единственный (возможный) элемент, который больше всех остальных. Ну, к примеру, в ЧУМе P(A), упорядоченном по включению, это элемент, равный самому A.
3. Верхняя грань ЛУМа в данном контексте - какой-либо из элементов ЧУМа, больший всех элементом этого ЛУМа. Ну, т.е., пусть дан ЧУМ X и принадлежащий ему ЛУМ Y, так вот верхней гранью будет любой элемент из X/Y, больший любого элемента Y.

Всё ли верно я сказал?

В общем-то, чего-то я недопонимаю, в чём "изюминка" леммы? Где тут AC-то? Блин, где-то извилину клинит...

-- 21.07.2011, 20:25 --

caxap в сообщении #470318 писал(а):

_hum_ в сообщении #470311 писал(а):

А вы хорошо представляете различие между понятиями наибольший элемент, максимальный элемент и верхняя грань?

Для этого полезны диаграммы Хассе. Про наибольший/максимальный элементы есть пример с коробками: наибольшая коробка --- это та, в которую можно положить все остальные, а максимальная --- которую никуда нельзя положить. Вообще говоря это не одно и то же; легко придумать конкретные примеры коробок. Максимальных коробок может быть сколько угодно.

-- 21 июл 2011, 20:08 --

lekma_axioma в сообщении #470317 писал(а):

Зачем смотреть доказательство с помощью леммы, смысла которой я не понимаю?

После теорему поймёте лемму. Идея применения леммы Цорна почти всегда одна и та же: требуется доказать существование максимального элемента по некоторому отношению порядка. Чтобы это сделать, нужно попытаться удовлетворить условиям леммы. Обычно это легко делается.

Ладно, спасибо, сейчас попробую разобрать...

ПС Насчёт коробок - выше я уже параллельно вам написал своё видение термина, поправьте, если ошибаюсь, но вроже сходится всё. Про диаграммы статья стоящая, видимо, но на англ((

[_hum_]

lekma_axioma
1) можете привести пример упорядоченного множества, не имеющего ни одного максимального элемента?
2) можете привести пример упорядоченного множества, имеющего верхнюю грань, но не имеющего ни одного максимального элемента?

[caxap]

lekma_axioma в сообщении #470322 писал(а):

В общем-то, чего-то я недопонимаю, в чём "изюминка" леммы?

Общая изюминка всего, что эквивалентно AC: они, грубо говоря, позволяют переносить некоторые интуитивно очевидные утверждения с конечными множествами на бесконечные множества (например, теорему о базисе в бесконечномерные пространства). Изюминка леммы Цорна: она обычно является самым "практичным" вариантом AC.

lekma_axioma в сообщении #470322 писал(а):

Где тут AC-то? Блин, где-то извилину клинит...

А вы доказательство читали? В Верещагине-Шене, насколько я помню, её доказывают с помощью трансфинитной индукции.

-- 21 июл 2011, 20:49 --

Чтобы интуитивно представить условия и следствие леммы Цорна, рекомендую её проверить на конечных чумах, нарисовав их диаграммы Хассе.

[lekma_axioma]

_hum_ в сообщении #470325 писал(а):

lekma_axioma
1) можете привести пример упорядоченного множества, не имеющего ни одного максимального элемента?
2) можете привести пример упорядоченного множества, имеющего верхнюю грань, но не имеющего ни одного максимального элемента?

1) Да полно! К примеру, упорядоченное N по принаку "быть делителем".
2) Нет, не могу, в том-то всё и дело! Потому одна мне и кажется то очевидной, то совершенно непонятной!(

[мат-ламер]

lekma_axioma. Не надо зацикливаться на лемме Цорна. Ничего в ней особенного нет. Её надо уметь применять.

[caxap]

lekma_axioma в сообщении #470335 писал(а):

2) Нет, не могу, в том-то всё и дело! Потому одна мне и кажется то очевидной, то совершенно непонятной!(

Верхняя грань не обязана принадлежать рассматриваемой части чума. Это её отличает от наибольшего элемента. Пример: промежуток $[0,1)$ в упорядоченном $\mathbb R$. Чем тут являются $1$ и $0$?

[lekma_axioma]

caxap в сообщении #470330 писал(а):

lekma_axioma в сообщении #470322 писал(а):

В общем-то, чего-то я недопонимаю, в чём "изюминка" леммы?

Общая изюминка всего, что эквивалентно AC: они, грубо говоря, позволяют переносить некоторые интуитивно очевидные утверждения с конечными множествами на бесконечные множества (например, теорему о базисе в бесконечномерные пространства). Изюминка леммы Цорна: она обычно является самым "практичным" вариантом AC.

lekma_axioma в сообщении #470322 писал(а):

Где тут AC-то? Блин, где-то извилину клинит...

А вы доказательство читали? В Верещагине-Шене, насколько я помню, её доказывают с помощью трансфинитной индукции.

-- 21 июл 2011, 20:49 --

Чтобы интуитивно представить условия и следствие леммы Цорна, рекомендую её проверить на конечных чумах, нарисовав их диаграммы Хассе.

Ну не то, чтобы читал, "по диагонали". Я обычно по порядочку материал изучаю: вначале "что?", потом "как?". А так - да, понятно, что в итоге AC используется, но мы же не всё, доказанное с её помощью, трактуем как её вариант. Ясно, что и из теоремы о существовании базиса Гамеля в произвольном протранстве можно вывести AC, только это, мягко говоря, будет доказательством через пятую точку Просто я понимаю, как элементрано выводится AC из теоремы Цермело, но аналогичного элементарного вывода для леммы Цорна я себе представить не могу. Неужто чисто из удобства использования она трактуется, как альтернатива AC?

На конечных-то как раз она совсем очевидной становится(

[_hum_]

lekma_axioma

caxap в сообщении #470339 писал(а):

lekma_axioma в сообщении #470335 писал(а):

2) Нет, не могу, в том-то всё и дело! Потому одна мне и кажется то очевидной, то совершенно непонятной!(

Верхняя грань не обязана принадлежать рассматриваемой части чума. Это её отличает от наибольшего элемента. Пример: промежуток $[0,1)$ в упорядоченном $\mathbb R$. Чем тут являются $1$ и $0$?

Прочли? Осознали? Просветление не наступило?

[lekma_axioma]

caxap в сообщении #470339 писал(а):

lekma_axioma в сообщении #470335 писал(а):

2) Нет, не могу, в том-то всё и дело! Потому одна мне и кажется то очевидной, то совершенно непонятной!(

Верхняя грань не обязана принадлежать рассматриваемой части чума. Это её отличает от наибольшего элемента. Пример: промежуток $[0,1)$ в упорядоченном $\mathbb R$. Чем тут являются $1$ и $0$?

Так, я не совсем верно выразился. Да, такой пример я представить могу. Но тут лемма бессильна. Ну есть у нас R, в нём есть ЛУМы [0, b), с верхними гранями b, очень хорошо, но у нас есть сама R, а у неё уже грани нет, так что ,получается, условий недостаточно...
А вот представить пример, в котором у каждого ЛУМа была бы грань и при этом существование максимума было бы не олчевидно и потребовало бы привлечение леммы и, как следствие, AC, я не в силах...

-- 21.07.2011, 21:40 --

мат-ламер в сообщении #470337 писал(а):

lekma_axioma. Не надо зацикливаться на лемме Цорна. Ничего в ней особенного нет. Её надо уметь применять.

Ну вот дело принципа уже, всё:)

[_hum_]

lekma_axioma в сообщении #470350 писал(а):

Так, я не совсем верно выразился. Да, такой пример я представить могу. Но тут лемма бессильна. Ну есть у нас R, в нём есть ЛУМы [0, b), с верхними гранями b, очень хорошо, но у нас есть сама R, а у неё уже грани нет, так что ,получается, условий недостаточно...

Не, этот пример был для того, чтобы вы прочувствовали, что может мешать даже при наличии верхней грани существованию максимального элемента.

lekma_axioma в сообщении #470350 писал(а):

А вот представить пример, в котором у каждого ЛУМа была бы грань и при этом существование максимума было бы не олчевидно и потребовало бы привлечение леммы и, как следствие, AC, я не в силах...

А вот тут как раз полезно рассмотреть используемое при доказательстве существования базиса Гамеля множество линейно независимых систем, с частичным порядком по включению.