Что есть декартова система координат (по Дубровину)?

[мат-ламер]

На первой странице монографии Дубровина, Новикова, Фоменко "Современная геометрия" даётся определение декартовой системы координат. Определение даётся для некоторого пространства (не уточняется - топологического, векторного или ещё какого) и по существу сводится к существованию биекции между этим пространством и $R^n$. Допустим для вещественной прямой эта биекция состоит в сопоставлении каждому числу его куба. Будет ли это декартовой системой координат на прямой? Я бы отнёс такую биекцию к криволинейной системе координат. Далее в книге рассматриваются и недекартовы системы координат, к сожалению, без определения. Отсюда у читателя может возникнуть впечатление, что декартовы системы координат отличаются от других именно наличием или отсутствием биекции с $R^n$. Буду признателен, если кто поделится ссылкой на точные определения. В Википедии определения не удовлетворили.

[ewert]

Ну, на мой скромный взгляд. Есть такой математический объект, как Эр-эн. На котором можно при желании ввести евклидову метрику. (А желание обусловлено тем, что вытекающие из этого результаты подкрепляются практикой, привет Арнольду.) После чего на этом объекте можно строить и какие-либо другие конструкции.

[Gortaur]

мат-ламер
Я думал, что криволинейность (как и неДекартовость) - понятие нестрогое, а если уж и есть строгое определение, то криволинейность будет относительна. Скажем, новая система координат криволинейна относительно старой, но никак не сама по себе.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #468088 писал(а):

Будет ли это декартовой системой координат на прямой? Я бы отнёс такую биекцию к криволинейной системе координат.

Чтобы отнести её к криволинейной системе координат, вы должны её с чем-то сравнить. Вы и сравниваете, подсознательно, с "естественной" системой координат, где каждое число сопоставляется с самим собой. А без такого сопоставления вещественная прямая - всего лишь множество точек, и мы вправе считать такое сопоставление декартовой системой координат, не обращая внимания, как эти точки называются - почему точка с координатой $x$ вдруг носит название ``$\sqrt[3]{x}\,$''.

[Kallikanzarid]

мат-ламер в сообщении #468088 писал(а):

На первой странице монографии Дубровина, Новикова, Фоменко "Современная геометрия" даётся определение декартовой системы координат. Определение даётся для некоторого пространства (не уточняется - топологического, векторного или ещё какого) и по существу сводится к существованию биекции между этим пространством и $R^n$.

Этот учебник написан для физиков, что вы от него хотите :)

Скорее всего, под существованием декартовой системы координат имеется ввиду, что гладкое многообразие со связностью (локально?) изоморфно аффинному, ну или риманово - евклидову, сама система координат отождествляется с соответствующей картой. Необходимое условие - обращение кривизны в ноль.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #468155 писал(а):

мат-ламер в сообщении #468088 писал(а):

Будет ли это декартовой системой координат на прямой? Я бы отнёс такую биекцию к криволинейной системе координат.

Чтобы отнести её к криволинейной системе координат, вы должны её с чем-то сравнить. Вы и сравниваете, подсознательно, с "естественной" системой координат, где каждое число сопоставляется с самим собой. А без такого сопоставления вещественная прямая - всего лишь множество точек, и мы вправе считать такое сопоставление декартовой системой координат, не обращая внимания, как эти точки называются - почему точка с координатой $x$ вдруг носит название ``$\sqrt[3]{x}\,$''.

Я сравнивал не подсознательно. Сознательно считал, что декартова система координат должна определяться на линейном пространстве и должна естественном образом быть согласована с линейной структурой. Но, как я понял, в этой монографии терминология в этом вопросе может отличаться от общепринятой. Спасибо за ответы.

[Kallikanzarid]

мат-ламер в сообщении #468446 писал(а):

Сознательно считал, что декартова система координат должна определяться на линейном пространстве и должна естественном образом быть согласована с линейной структурой.

Да вроде конкретно в этом терминология стандартная.

(Оффтоп)

Арнольд в своих "Математических методах" емко написал что-то вроде "аффинным пространством назовем аналитическое многообразие, на котором задано регулярное действие группы $\mathbb{R}^n$ параллельными переносами". Этого вполне хватает, чтобы доказать, что соответствующая связность - плоская и без кручения, и любые два аффинных пространства с одинаковым $n$ диффеоморфны.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #468446 писал(а):

Сознательно считал, что декартова система координат должна определяться на линейном пространстве и должна естественном образом быть согласована с линейной структурой.

Мне кажется, что линейное пространство задано куда жёстче топологического. Видимо, в данном определении линейные пространства не подразумевались (если вы берёте линейное пространство, то определение всё равно не в курсе о линейной структуре и плюёт на неё).

[Gortaur]

1. Имеет ли смысл говорить о Декартовой системе координат не в линейном пространстве?
2. Не должна ли вся Декартовость умещаться в положении "если $x$ - координата на $X$, а $y$ - координата на $Y$, то $(x,y)$ - координата на $X\times Y$". Возможно, не очень строго - но тогда введя любую систему координат на прямой, мы получим желаемую Декартову (относительно первой) систему координат на любом конечном произведении прямых.

[ewert]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #468476 писал(а):

Арнольд в своих "Математических методах" емко написал что-то вроде "аффинным пространством назовем аналитическое многообразие, на котором задано регулярное действие группы $\mathbb{R}^n$ параллельными переносами". Этого вполне хватает, чтобы

"И эти люди запрещают нам ковыряться в носу?"... Это тот самый Арнольд, который говорил:

Цитата:

Математика --- часть физики. Физика --- экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика --- это та часть физики, в которой эксперименты дешевы.

Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) --- такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару).

http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn_oprepmat ?

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #468569 писал(а):

"И эти люди запрещают нам ковыряться в носу?"

Он сказал чуть менее формально, но регулярное действие и параллельные переносы там были Я на этом месте остановился и с наслаждением убедился, что связность действительно получается плоской

-- Пт июл 15, 2011 21:24:16 --

Gortaur в сообщении #468562 писал(а):

1. Имеет ли смысл говорить о Декартовой системе координат не в линейном пространстве?[/q]
Локальной - почему нет?

[q]2. Не должна ли вся Декартовость умещаться в положении "если $x$ - координата на $X$, а $y$ - координата на $Y$, то $(x,y)$ - координата на $X\times Y$".[/q]
Можете пояснить?

[q]Возможно, не очень строго - но тогда введя любую систему координат на прямой, мы получим желаемую Декартову (относительно первой) систему координат на любом конечном произведении прямых.

Декартовость относится больше к связности, чем к самой локальной карте.