Ожидание ограниченной и непрерывной функции

[Gortaur]

Верно ли, что если $f\in C(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R)$, то

$$ g(x) = \mathsf E[f(x+Y)] =\int\limits_\mathbb{R} f(x+y)dF_Y(y) $$

также непрерывна? Если нет, то в какую сторону думать о примере?

Насколько я понимаю, можно расписать через непрерывную часть и скачки, и получить

$$ g(x) = \int\limits_\mathbb{R}f(x+y)f_Y(y)\,dy + \sum\limits_i \Delta_i f(x+y_i) $$

где $\Delta_i = F_Y(y_i) - F_Y(y_i-0)$,
тогда сумма непрерывна, но интеграл не знаю как проверить. Кстати, прыжков же может быть бесконечное число?

[sup]

Должна быть даже равномерно непрерывной. Например, так. Пусть $K>0$. Тогда
$|g(x_1)-g(x_2)| \leqslant \int\limits_{|y| \leqslant K} |f(x_1+y)-f(x_2+y)|dF_Y(y) +2C \int\limits_{|y| > K}dF_Y(y) $
Второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет выбора $K$. После этого первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет равномерной непрерывности $f$.

[ewert]

sup в сообщении #467608 писал(а):

Пусть $K>0$. Тогда
$|g(x_1)-g(x_2)| \leqslant \int\limits_{|y| \leqslant K} |f(x_1+y)-f(x_2+y)|dF_Y(y) +2C \int\limits_{|y| > K}dF_Y(y) $
Второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет выбора $K$. После этого первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет равномерной непрерывности $f$

Ну всё верно, конечно. Только зачем тут равномерная непрерывность на всей-то оси?... А на любом конечном промежутке она и так есть.

[sup]

Я, похоже, таки накосячил. Функция $g$ просто непрерывна на всей оси. Равномерная непрерывность, наверное, не гарантируется.

[Gortaur]

Ну по крайней мере из разбиения на два интеграла явно следует непрерывность, а равномерная и не нужна. Спасибо.

[sup]

Да, глупо так ... Если $y$ пробегает компакт, то $f(x+y)$ не обязана быть равномерно непрерывной . Разве что если и $x$ пробегает компакт.

[Gortaur]

sup

(Оффтоп)

Пробегает... на первом курсе мне на одной конференции постоянно слышалось, что функции пробегаемы по Лебегу - и я жуть как хотел узнать, что же это значит. Так и не узнал, на ТМИ у нас про интегрируемые рассказывали, а про пробегаемые - ни слова.

[--mS--]

sup в сообщении #467635 писал(а):

Да, глупо так ... Если $y$ пробегает компакт, то $f(x+y)$ не обязана быть равномерно непрерывной . Разве что если и $x$ пробегает компакт.

Зачем нужна равномерная непрерывность по $x$, если хватит по $y$?

$$f((x+\delta)+y)-f(x+y)\equiv f(x+(y+\delta))-f(x+y).$$

Функция $h_x(y)=f(x+y)$ при любом фикированном $x$ равномерно непрерывна по $y$ на любом отрезке, если $f(t)$ непрерывна. Соответственно,

$$|g(x+\delta)-g(x)|\leqslant \int\limits_{|y|\leqslant K} |h_x(y+\delta)-h_x(y)|\,dy + 2C\mathsf P(|Y|\geqslant K).$$

[ewert]

Исправить лучше так:

Цитата:

Пусть $K>0$. Тогда
$|g(x_0+\Delta x)-g(x_0)| \leqslant \int\limits_{|y| \leqslant K} |f(x_0+\Delta x+y)-f(x_0+y)|dF_Y(y) +2C \int\limits_{|y| > K}dF_Y(y) $
Второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет выбора $K$. После этого первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым за счет равномерной непрерывности $f(t)$ на промежутке $t\in[-R;R]$, где $R=2K+|x_0|$.