Мощность подмножества R, все точки которого - предельные

[BAS]

Пусть А - подмножество R, все точки которого являются его предельными точками. Тогда

1) А- пустое
2) А - конечное
3) А - счетное
4) А - множество мощности континуума
5) 1-4 все неверны

правильный ответ 5, почему не 4

как множество, все точки которого предельные, может быть меньше континуума?

[ИСН]

ну а как множество рациональных чисел может быть?

[AD]

Не, ну пустое тоже явно подходит

[Gortaur]

Предельные это которые содержат как минимум одну в любой проколотой окрестности?

[TOTAL]

Особь не обязана быть женского рода. И мужского тоже не обязана. Но быть может.

[AD]

Gortaur в сообщении #465662 писал(а):

Предельные это которые содержат как минимум одну в любой проколотой окрестности?

Да.

[Gortaur]

А взять множество всех функций на $[0,1]$, пополненное по суп-норме нельзя? У него мощность точно больше всех четверых.

[AD]

Ну это как бы не совсем подмножество $\mathbb{R}$, а также суп-норма на нём как бы не совсем норма, вот

[Gortaur]

AD
Зря люди читают сниху вверх, Вы правы. А почему суп не норма?

[ewert]

Gortaur в сообщении #465794 писал(а):

А почему суп не норма?

Потому, что если и норма, то только за обедом, но никак не за завтраком и не за ужином. Кроме того, там не просто суп, но "существенный".

[Gortaur]

Суп - норма только в счастливом детстве, когда его есть заставляли.

Ок, то есть на линейном пространстве функций $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ нельзя ввести норму вида

$$\|f\| = \sup\limits_{x\in[0,1]}|f(x)|$$

? Почему он должен быть обязательно существенный (супремум)?

[ewert]

Gortaur в сообщении #465892 писал(а):

Почему он должен быть обязательно существенный (супремум)?

Потому, что обычный супремум на измеримых функциях не даст полноты пространства. Вроде бы; но уж во всяком случае такая норма не будет согласована с интегральными, а это в любом случае никуда не годится.