Непрерывность отображения

[Ivan123]

Перед мной стоит вот такая вот задача:
Обозначим через

$$C^0 (\{ 1,...,n\} ,C)$$

множество функций (отображений) из множества $\{ 1,...,n\} $ в $C$.
Как проверить, что такие функции являются непрерывными?

Я думаю, что сначала нужно проверить непрерывность отображения в точке, а затем заключить,что все отображение непрерывно. Но как это должно выглядеть, непонятно

[arseniiv]

(Для $C^0 (\{ 1,...,n\} ,C)$ есть устоявшиеся обозначения, например, $C^{\{1,\ldots,n\}}$.)

Если вы под $\{1,\ldots,n\}$ понимаете отрезок натурального ряда с «обычной» топологией, то о какой непрерывности можно говорить? В $\mathbb N$ есть одна предельная точка, и она — бесконечность. А конечные подмножества $\mathbb N$ и её не имеют, т. е. непрерывность, определяемая через предел, не будет ни у какой функции из $\{1,\ldots,n\}$. Не исключено, что есть какая-нибудь топология на таких множествах, при которых можно найти непрерывные функции из него в $C$. (Кстати, это произвольное множество, или множество комплексных чисел $\mathbb C$, или, может, что-то третье?)

Т. е., если не ошибся, с большой вероятностью ответ на ваш вопрос — «очень просто, ведь они все не непрерывные».

[Someone]

Определение непрерывности в топологии не требует понятия предела.
Ivan123, по правилам форума Вы должны сформулировать это определение. Тогда мы сможем применить его к Вашим функциям и определить, будут ли они непрерывными.

-- Вс июл 03, 2011 01:54:41 --

Да, кстати, $C$ - это что такое?

[alcoholist]

Любое отображение, областью определения которого является дискретное топологическое пространство, непрерывно. Вне зависимости от того, в каком топологическом пространстве это отображение принимает значения.

"Это же очевидно:)))"

-- Вс июл 03, 2011 09:02:18 --

arseniiv в сообщении #464524 писал(а):

(Для $C^0 (\{ 1,...,n\} ,C)$ есть устоявшиеся обозначения, например, $C^{\{1,\ldots,n\}}$.)

Возможно, Вы имеете ввиду $C^n$:)

[arseniiv]

Там, конечно, есть естественный изоморфизм, но штуки-то всё же разные!

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #464620 писал(а):

Там, конечно, есть естественный изоморфизм, но штуки-то всё же разные!

Ну, разные... когда мы основы теории множеств изучаем. А когда топологию, то между $A^{B\bigsqcup C}$ и $A^B\times A^C$ можно смело ставить знак равенства:)

[Ivan123]

$C$ - множество комплексных чисел.
$f:\{ 1,...,n\} \to C$ сопоставляет каждому $i \in \{ 1,...,n\} $ некоторое число $a_i $ для $(a_i ,...,a_n ) \in C$.
Но как проверить, что отображение непрерывно?

[Someone]

Ivan123 в сообщении #464678 писал(а):

$C$ - множество комплексных чисел.

Тогда лучше писать $\mathbb C$.

Ivan123 в сообщении #464678 писал(а):

Но как проверить, что отображение непрерывно?

Для начала сформулировать топологическое определение непрерывности и указать, какая топология берётся на множетсве $\{1,\ldots,n\}$ (предполагаем, что на $\mathbb C$ берётся стандартная топология).

[alcoholist]

Ivan123 в сообщении #464678 писал(а):

Но как проверить, что отображение непрерывно?

alcoholist в сообщении #464573 писал(а):

Любое отображение, областью определения которого является дискретное топологическое пространство, непрерывно. Вне зависимости от того, в каком топологическом пространстве это отображение принимает значения.