Дифференциальное уравнение Бернулли

[f3b4c9083ba91]

Помогите решить\ поверить.
$y' + 4{x^3}y = 4{y^2}{e^{4x}}(1 - {x^3})$
Мое решение:
$ y'{y^{ - 2}} + 4{x^3}{y^{ - 1}} = 4{e^{4x}}(1 - {x^3}) \\ t = 1/y \\ t' = \frac{{ - y'}}{{{y^{ - 2}}}} \\ - t' + 4{x^3}t = 4{e^{4x}}(1 - {x^3}) \\ - u'v - {\rm{v}}'{\rm{u + }}4{x^3}uv = {e^{4x}}(1 - {x^3}) \\ u( - {\rm{v}}' + 4{x^3}v) - u'v = {e^{4x}}(1 - {x^3}) \\ u({\rm{v}}' - 4{x^3}v) + u'v = {e^{4x}}({x^3} - 1) \\ {\rm{v}}' - 4{x^3}v = 0 \\ \frac{{dv}}{{dx}} = 4{x^3}v \\ \frac{{dv}}{v} = 4{x^3}dx \\ \int {\frac{{dv}}{v} = \int {4{x^3}dx} } \\ \ln |v| = \frac{{4{x^4}}}{4} \\ v = {e^{{x^4}}} \\ u'{e^{{x^4}}} = {e^{4x}}({x^3} - 1) \\ u' = {e^{4x - {x^4}}}({x^3} - 1) \\ \frac{{du}}{{dx}} = {e^{4x - {x^4}}}({x^3} - 1) \\ du = {e^{4x - {x^4}}}({x^3} - 1)dx \\ \int {du = \int {{e^{4x - {x^4}}}({x^3} - 1)dx} } \\ u = - \frac{1}{4}{e^{4x - {x^4}}} + C \\ y = uv = ( - \frac{1}{4}{e^{4x - {x^4}}} + C){e^{{x^4}}} \\ \\ \end$

[myra_panama]

[f3b4c9083ba91]

myra_panama в сообщении #464050 писал(а):

:readrulez:

Исправил.

[ИСН]

Напишите явным образом ту замену, в результате коей возникли буквы u и v.

[phys]

Ну начнем с того что у вас опечатка в третей строке решения.

Далее, я бы не стал уравнение первого порядка решать заменой $uv$, ввиду того что можно замечательно решить однородное.

А дальше, находя в одну строчку $t$ методом вариации постоянных найдем частное решение.

Лично у меня на скорую руку ответ получился другой (решал чуть ли не ногтем на салфетке), но я думаю если сделать так как я посоветовал - проверки не потребуется.

[f3b4c9083ba91]

ИСН в сообщении #464078 писал(а):

Напишите явным образом ту замену, в результате коей возникли буквы u и v.

t=uv.

-- 01.07.2011, 22:12 --

phys в сообщении #464080 писал(а):

Далее, я бы не стал уравнение первого порядка решать заменой $uv$, ввиду того что можно замечательно решить однородное.

Так?
$ - t' + 4{x^3}t = 0 \\ t' = 4{x^3}t \\ \frac{{dt}}{{dx}} = 4{x^3}t \\ \frac{{dt}}{t} = 4{x^3}dx \\ \int {\frac{{dt}}{t} = \int {4{x^3}dx} } \\ \ln |t| = {x^4} \\ t = {e^{{x^4}}} \\ $
+С нужно?

[phys]

Именно так.

$+ C$ нужно еще на этапе с логарифмом, потом оно выливается в $Ce^{4x}$

-- Пт июл 01, 2011 23:00:52 --

Цитата:

Не понимаю. В википедии написано: " Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения." Или это не то?

Ну может быть можно и так сформулировать, потому что мы находим значение констант, и подставляем в общее решение однородного. Если константу интегрирования там не дописывать (чего конечно же делать нельзя) то получим отдельно частное, но так как константа есть - получается частное + общее. Попробуйте и увидите.

[f3b4c9083ba91]

phys в сообщении #464090 писал(а):

Именно так.

$+ C$ нужно еще на этапе с логарифмом, потом оно выливается в $Ce^{4x}$

-- Пт июл 01, 2011 23:00:52 --

Цитата:

Не понимаю. В википедии написано: " Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения." Или это не то?

Ну может быть можно и так сформулировать, потому что мы находим значение констант, и подставляем в общее решение однородного. Если константу интегрирования там не дописывать (чего конечно же делать нельзя) то получим отдельно частное, но так как константа есть - получается частное + общее. Попробуйте и увидите.

Так?
$ t = C(x){e^{4x}} \\ - C'(x){e^{4x}} - 4C(x){e^{4x}} + 4{x^3}t = 4{e^{4x}}(1 - {x^3}) \\ $
И куда потом С подставлять?

[ИСН]

"Гусары, молчать!"
Сами-то как полагаете?

[f3b4c9083ba91]

ИСН в сообщении #464120 писал(а):

"Гусары, молчать!"
Сами-то как полагаете?

В$ t = C(x){e^{4x}} \\ $.

[AKM]

Цитату малость подкрасил: f3b4c9083ba91 в сообщении #464116 писал(а):

Так?
$ \text{\Huge\color{magenta}$t$} = C(x){e^{4x}} \\ - C'(x){e^{4x}} - 4C(x){e^{4x}} + 4{x^3}\text{\Huge\color{magenta}$t$} = 4{e^{4x}}(1 - {x^3})$

[phys]

А по моему в уравнении первого порядка нужно $C'e^{4x}$ приравнивается только правой части, не?
Вы, кажется просто поставили t в диффур, делать этого не нужно - а почему - это надо смотреть вывод этого метода, я если честно сам не особо понимаю, маловат еще