Два таракана

[Xenia1996]

Два таракана, Вася и Даша, расстояние между которыми 10 метров, начинают бежать навстречу друг дружке с постоянными (но не обязательно равными) скоростями.
Вася пробегает метр за количество секунд, в 4 раза превышающее количество метров, пробегаемых Дашей за секунду.
Через какое наименьшее время они гарантированно встетятся?

[nnosipov]

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

[caxap]

Если без подвоха, то через 10 с. (По неравенству между ср. арифметическим и ср. геометрическим.)

[TOTAL]

nnosipov в ообщении #461348 писал(а):

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

Подвохов миллион. Например, они десят минут начинали бежать, затем собственно побежали. Так о каком именно гарантированном времени идёт речь?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #461348 писал(а):

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

Не подвох.
Просто я условие как-то криво сформулировала.
Надо было "через какое наибольшее время они могут встретиться?".

-- Чт июн 23, 2011 11:07:58 --

caxap в сообщении #461353 писал(а):

Если без подвоха, то через 10 с. (По неравенству между ср. арифметическим и ср. геометрическим.)

Угу:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=32139

-- Чт июн 23, 2011 11:09:24 --

TOTAL в сообщении #461354 писал(а):

nnosipov в ообщении #461348 писал(а):

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

Подвохов миллион. Например, они десят минут начинали бежать, затем собственно побежали. Так о каком именно гарантированном времени идёт речь?

Да, да, да. Признаю, что я тупо формулирую условия.
В оригинале спрашивалось "через какое время они встретятся?", а "наименьшее" и "гарантированно" я уже сама добавила, и этим только запутала народ.

[age]

nnosipov в сообщении #461348 писал(а):

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

TOTAL в сообщении #461354 писал(а):

Подвохов миллион. Например, они десят минут начинали бежать, затем собственно побежали. Так о каком именно гарантированном времени идёт речь?

А мне понравилось. Но вот производную так и не смог построить: $\left(\dfrac1x+\dfrac x4\right)t=10$. Получается две переменные $x$ и $t$. Ну $t$ - это понятно, время. А вот $x$ что такое и как он зависит от $t$?

[nnosipov]

age в сообщении #461446 писал(а):

А вот $x$ что такое и как он зависит от $t$?

$x$ --- это скорость, скажем, Даши. А $t$ --- время, через которое они встретятся. Ясно, что $t$ зависит от $x$, в нашем случае $t=10/(1/x+x/4)$. А вопрос на самом деле таков: найти максимум $t$ (этот максимум и будет наименьшим временем, гарантирующим встречу при любом $x$). Ну а дальше можно взять производную $t$ по $x$ или не брать её, а воспользоваться AM-GM --- это уже дело вкуса.

[age]

Верно.

[Xenia1996]

age в сообщении #461446 писал(а):

nnosipov в сообщении #461348 писал(а):

Тут, наверное, какой-то подвох. Интересно, какой?

TOTAL в сообщении #461354 писал(а):

Подвохов миллион. Например, они десят минут начинали бежать, затем собственно побежали. Так о каком именно гарантированном времени идёт речь?

А мне понравилось. Но вот производную так и не смог построить: $\left(\dfrac1x+\dfrac x4\right)t=10$. Получается две переменные $x$ и $t$. Ну $t$ - это понятно, время. А вот $x$ что такое и как он зависит от $t$?

А там без производной можно обойтись, неравенство Коши использовать.
Скорость Даши равна $ x $, а Васи $\frac{1}{4x}$
Поскольку скорости положительны, выполняется неравенство Коши:
$x+\frac{1}{4x}\ge 2\sqrt{x\frac{1}{4x}}$

[Sveral]

до Коши еще додуматься надо, а через производную от одной переменной нормально решается...

[mihailm]

Xenia1996 в сообщении #461339 писал(а):

Два таракана, Вася и Даша
...

(Оффтоп)

В чем интересно Вася и Даша провинились?

[caxap]

Sveral в сообщении #461609 писал(а):

до Коши еще додуматься надо

По-моему, оно так и лезет в глаза. Произведение скоростей постоянно, а нужен минимум суммы.

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #461339 писал(а):

Два таракана, Вася и Даша, расстояние между которыми 10 метров, начинают бежать навстречу друг дружке

Тапок Вася и таракаша Даша бегут друг к другу

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #461729 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #461339 писал(а):

Два таракана, Вася и Даша, расстояние между которыми 10 метров, начинают бежать навстречу друг дружке

Тапок Вася и таракаша Даша бегут друг к другу

(Оффтоп)

...и каждый из них несёт на спинке по сто пионерских звёздочек

Задача по сложности не соответствует Олимпиадному разделу. Поскольку полное решение уже приведено, то тема переносится в Чулан. / GAA, 26.06.11