Теорвер. Симметр. распределение и корреляция с.в. X и |X|

[Fenruga]

Случайная величина $\xi$ имеет симметричное распределение и конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и $|\xi|$.

Если центр симметрии - 0, то получается, что коэффициент корреляции = 0, т.к. $M(\xi)=0$ и $M(\xi^*|\xi|)=0$ (возможно я что-то напутал, но вроде так). Но как найти при произвольном центре симметрии не могу понять. Дисперсии считаем известными.

[ewert]

Fenruga в сообщении #460924 писал(а):

Но как найти при произвольном центре симметрии не могу понять.

Коэффициент корреляции не меняется при сдвигах: от них не зависят ни смешанный центральный момент, ни дисперсии.

[ИСН]

Это смотря при чьих сдвигах. Вообразим равномерное распределение по отрезку (-0.01, 0.99). В 99% случаев ξ и |ξ| - тупо одно и то же! Что, неужто корреляция опять выйдет 0?

-- Ср, 2011-06-22, 09:07 --

Предлагаю считать, что центр симметрии подразумевался в нуле, иначе непонятно, какой тут вообще возможен содержательный ответ.

[--mS--]

Термин "симметричное распределение" предполагает именно симметричность относительно нуля, т.е. одинаковую распределённость $\xi$ и $-\xi$. Это устоявшийся издавна термин. См., например, М.Лоэв, п.17.1, В.Феллер 2-й том гл. V, параграф 5.