Теорвер. показательное распределение и функции от с.в.

[Naatikin]

Нужна помощь в решении
Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти плотности распределения случайных величин $\sqrt{\xi},\xi^2$, $\frac{1}{\alpha}\ln\xi$

как я понял мне нужно найти из показательного распределения функцию распределения вероятностей, а потом подставив нужные значения взять первую производную. проблема с нахождением функции.

[Gortaur]

Опишите тогда в чем проблема? Функция распределения ищется через просто через интеграл. Пример: для $x>0$

$$ F_{\xi^2}(x) = \mathsf P\{\xi^2 < x\} = \mathsf P\{\xi \in (-\sqrt{x},\sqrt{x})\} = \int\limits_{\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} f_\xi(x)\,dx. $$

[Naatikin]

правильно я понял, что F- функция распределения вер. с.в., Р - вероятность принятие величины на отрезке, а что тогда f(x)?

[Gortaur]

А, плотность. $f_\xi(x) = \alpha \mathrm e^{-\alpha t}$.

[Naatikin]

как я понял в формуле вместо t должно быть x
а пределы в интеграле $ \sqrt{\xi} $?

[Gortaur]

Конец работы был, всякие субмартингалы обуревали. Да, вместо $t$ там $x$. Про интеграл легче формулу написать снова

$$ \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\alpha \mathrm e^{-\alpha s}\,ds. $$

[--mS--]

Gortaur в сообщении #460425 писал(а):

Про интеграл легче формулу написать снова

$$ \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\alpha \mathrm e^{-\alpha s}\,ds. $$

Лучше оставьте предыдущую. Эдак и вероятность до бесконечности доберется...

[Gortaur]

--mS--
Спасибо,

$$ \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\alpha \mathrm e^{-\alpha s} I\{s\geq 0\}\,ds = \int\limits_0^{\sqrt{x}}\alpha \mathrm e^{\alpha s}\,ds. $$

[Naatikin]

я так и не понял(
изменяемая с.в. - это пределы? ведь пределы это всего лишь отрезок в который может попасть с.в.

[Gortaur]

Naatikin
Что Вы имеете ввиду под изменяемой с.в.? Мы берем новую с.в. $\eta = \xi^2$ и ищем ее функцию распределения $F_\eta$. Эта функция равна последнему интегралу, который я наконец написал После того, как Вы найдете эту функцию, можно будет посчитаеть ее производную и получите плотность.

Быть может, Вы имели ввиду как влияет на нахождение то, что $\eta = \xi^2$? Тогда да, разница будет только в пределах, потому что по ходу решения мы пытаемся условие $\eta<x$ привести к условию на величину $\xi$. Делается это затем, что для $\xi$ мы знаем как через ее плотность посчитать вероятность этого условия.

[Naatikin]

если я правильно понял для с.в. $\sqrt{\xi}$ интеграл будет такой же только пределы поменяються на +- $x^2$?

[ewert]

Naatikin в сообщении #460272 писал(а):

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти плотности распределения случайных величин $\sqrt{\xi},\xi^2$, $\frac{1}{\alpha}\ln\xi$

Поскольку все три замены монотонны и абсолютно непрерывны -- достаточно в каждом случае тупо и ни о чём не задумываясь использовать стандартную формулу:

$\eta=\eta(\xi),\ \ f_{\eta}(y)\,dy\equiv f_{\xi}(x)\,dx\ \ \Longrightarrow\ \ f_{\eta}(y)=f_{\xi}(x(y))\cdot\frac{dx(y)}{dy}\,.$

(естественно, оговаривая, что в первых двух случаях новая величина принимает лишь неотрицательные значения, т.е. что для неё плотность левее нуля равна нулю)

[Gortaur]

Naatikin
Вы почти правы. Дело в том, что $\sqrt{\xi}<x\Leftrightarrow \xi\in [0,x^2)$ - так что здесь минум квадрат уберется уже на данном шаге. Ответ пользователя ewert дает более быстрый способ вычисления плотностей, но как он отметил - перед тем, как их применять нужно задуматься о монотонности функций от кси.

[Naatikin]

спасибо