множество элементарных исходов, при которых сходится ряд

[kkatyukha]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, разобраться, ато не получается:

Описать множество таких $ \omega \in \Omega$, для которых сходится ряд: $\sum_{n}\xi_{n}(\omega)$.

В задаче стоит сходимость простая, а не почти всюду: поэтому не получается никак привязать к теоремам про 1, 2, 3 ряда..

Вот.

Нужна хотя бы подсказка, с чего начать..

Спасибо!

[Gortaur]

Ну в зависимости от последовательности $\xi_n$ это будут разные множества. Последовательность дана?

[kkatyukha]

Нет(

Задача сформулирована так.. больше ничего нет..

[alisa-lebovski]

Задача из книжки или преподаватель диктовал?

[kkatyukha]

Задача была на экзамене:

http://vkontakte.ru/album7976866_136759653?act=edit&from=263198758&z=photo7976866_263198758%2Falbum7976866_136759653

и она не получилась(

-- Пт июн 17, 2011 12:48:54 --

$\sum_{n\geq 1} \xi_{n}(\omega)$ сходится $\Leftrightarrow {S_{n}=\xi_{1}+...+\xi_{n}}$ - фундаментальная, $\Leftrightarrow \sup_{k\geq 0}|S_{n+k}-S_{n}|=\sup_{k\geq 0}|\xi_{n+k}(\omega)+...+\xi_{n+1}(w)|\to^{P} 0, n\to \infty $

Может, кто-то знает как перейти к омега?

[alisa-lebovski]

Понятно, что задание некорректное.

Формулировка:

Цитата:

множество таких $ \omega \in \Omega$, для которых сходится ряд: $\sum_{n}\xi_{n}(\omega)$.

- уже само по себе является описанием таких $\omega$, и если больше ничего не дано, то ничего больше из него и не получишь.

[--mS--]

Ну может быть, имелось в виду, что величины априори независимые, и требовалось описание множества элементарных исходов, на которых ряд сходится, как остаточного события? Т.е. это событие, принадлежащее сигма-алгебре $\sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$ для любого $n$? Вероятность которого поэтому равна нулю или единице?

Гадать сложно. Может быть, в курсе лекций что-то было на эту тему, а в билете опущены подробности в надежде на то, что те, "кто в курсе" поймут, о чём речь?

[Gortaur]

--mS--

(Оффтоп)

что честно требовать от профессора, нечестно требовать от студента

[--mS--]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #459163 писал(а):

--mS--
что честно требовать от профессора, нечестно требовать от студента

Откровенно не поняла.

[Gortaur]

(Оффтоп)

Не Вам в упрек было Да то, что если преподаватель дал задание с намеком, что студент должен догадаться о его смысле, то позор такому преподавателю.

[--mS--]

kkatyukha в сообщении #459059 писал(а):

$\sum_{n\geq 1} \xi_{n}(\omega)$ сходится $\Leftrightarrow {S_{n}=\xi_{1}+...+\xi_{n}}$ - фундаментальная, $\Leftrightarrow \sup_{k\geq 0}|S_{n+k}-S_{n}|=\sup_{k\geq 0}|\xi_{n+k}(\omega)+...+\xi_{n+1}(w)|\to^{P} 0, n\to \infty $

Может, кто-то знает как перейти к омега?

См. в курсе лекций доказательство леммы "критерий фундаментальности почти наверное". Фундаментальность п. н. последовательности $S_n$ - это событие

$$\bigcap_{k\geqslant 1} \bigcup_{N\geqslant 1} \bigcap_{n\geqslant N} \bigcap_{m\geqslant N} \left\{\omega \,:\, |S_n - S_m|\geqslant \frac1k \right\}.$$

С вероятностью 1 это и требовалось в исходном вопросе. Снимаю своё предположение про остаточные события.

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #459169 писал(а):

Не Вам в упрек было Да то, что если преподаватель дал задание с намеком, что студент должен догадаться о его смысле, то позор такому преподавателю.

Вы слишком торопитесь судить поверхностно. Задача, сформулированная в билете, многократно повторяется в учебных материалах означенного преподавателя. С указанием точного раздела, к которому она всякий раз относится. Материал, к которому отнесена эта задача в курсе лекций, займёт не более одной страницы A4 (займёт - потому что в сети есть только экранный вариант, очень красивый), и в этом тексте легко находится ответ.

[Gortaur]

(Оффтоп)

Что ж, в таком случае позор мне за торопливое суждение. А этот критерий имеет пользу?

[kkatyukha]

Лемму нашла!

Спасибо огромное!

[_hum_]

(Оффтоп)

Согласен с alisa-lebovski - в исходной формулировке вопрос не корректен: "описать множество" имеет слишком широкое толкование и зависит от контекста, в котором задается вопрос. А, как тут опять же правильно отметили, хороший преподаватель не должен опираться на конктекст своих занятий при формулировке заданий в экзаменационных билетах.

З.Ы. Задачу можно было, например, сформулировать как: показать, что нужное множество является событием.