Очень элементарное доказательство БТФ для n=3

[Belfegor]

Вот и я решил, наконец, внести свою лепту в великое дело)))
Итак: надо доказать, что выражение $ \[ X^3 + Y^3 = Z^3 \]$ $\[ (1) \]$
не выполняется при любых$ \[ X,Y,Z \in N;X,Y,Z - \]$ попарно взаимно простые числа.
Представим правую часть $\[ X^3 + Y^3 = Z^3 \]$
в виде произведения сомножителей:
$\[ (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = Z^3 \] $ $\[ (2) \]$
преобразуем правую сторону (2):
$\[ (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = (X + Y)((X + Y)^2 - 3XY) = (X + Y)^3 - 3XY(X + Y) \]$
Получили:
$\[ (X + Y)^3 - 3XY(X + Y) = Z^3 \]$
Или
$\[ (X + Y)^3 - Z^3 = 3XY(X + Y) \]$ $\[ (3) \] $
Выразим $\[ X \]$ и $\[ Y \]$ :

$\[ X = \frac{{(X + Y)^3 - Z^3 }} {{3Y(X + Y)}} \Rightarrow \]$

$\[ X = \frac{{((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 )}} {{3Y(X + Y)}} \] $ $\[ (4) \]$
Аналогично:
$\[ Y = \frac{{((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 )}} {{3X(X + Y)}} \]$ $\[ (5) \]$

Представив (1) в виде разности$ \[ Z^3 - Y^3 = X^3 \]$ и $\[ Z^3 - X^3 = Y^3 \]$
и используя представления в виде сомножителей, получим:
$\[ X = \frac{{(Y - (Z - X))(Y^2 + Y(Z - X) + (Z - X)^2 )}} {{3Z(Z - X)}} \]$ $\[ (6) \]$

$\[ Y = \frac{{(X - (Z - Y))(X^2 + X(Z - Y) + (Z - Y)^2 )}} {{3Z(Z - Y)}} \]$ $\[ (7) \]$

$\[ Z = \frac{{(Y - (Z - X))(Y^2 + Y(Z - X) + (Z - X)^2 )}} {{3X(Z - X)}} \]$ $\[ (8) \]$

$\[ Z = \frac{{(X - (Z - Y))(X^2 + X(Z - Y) + (Z - Y)^2 )}} {{3Y(Z - Y)}} \]$ $\[ (9) \]$

Т.к. X и Y – целые числа (по условию) следует, что числители в (4) - (9) делятся на 3.
Рассмотрим сколько троек может содержать число $\[ 3Y(X + Y) \]$ из (4)

числитель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.
Тогда для числа $\[ 3Y(X + Y) \]$
имеем 2 случая:
1-ый случай.
число $ \[ 3Y(X + Y) \]$ содержит одну тройку, тогда при делении числителя на знаменатель в (4) одна тройка сохраняется и значит, получается, что X кратно 3, (Y , (X+Y))- не кратны 3.
Рассмотрим (7):
т.к. Y и Z не кратны 3 (как попарно простые с X), получается в (7) (Z-Y) кратно 3 $\[ \Rightarrow \]$ $\[ (X^2 + X(Z - Y) + (Z - Y)^2 ) \]$ кратно $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ в (7) в числителе содержится $\[ 3^3 \]$ , а в знаменателе $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ Y кратно 3 – получили противоречие!

2-ой случай.
число $\[ 3Y(X + Y) \]$ содержит как минимум две тройки, и получаем два варианта:
1) Y кратно 3; тогда в (6):
т.к. X и Z не кратны 3 (как попарно простые с Y), получается в (6) (Z-X) кратно 3 $\[ \Rightarrow \]$
$\[ (Y^2 + Y(Z - X) + (Z - X)^2 ) \]$ кратно $\[ 3^2 \]$ в (6) в числителе содержится $\[ 3^3 \]$ , а в знаменателе $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ X кратно 3 – получили противоречие!

2) (X+Y) кратно 3; и т.к. в (4) (X+Y)-Z) тоже кратно 3, получаем, что Z кратно 3 $\[ \Rightarrow \]$
$\[ ((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$ кратно $\[ 3^2 \]$ в (4) в числителе содержится $\[ 3^3 \]$ , а в знаменателе $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ X кратно 3 – получили противоречие!

Во всех случаях противоречия! Нарушаются исходные условия $\[ X,Y,Z \in N;X,Y,Z - \] $ попарно взаимно простые числа.
Уравнение (1) не разрешимо в целых числах.

[venco]

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):

Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.

Выделенное не доказано.

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):

Рассмотрим (7):
т.к. Y и Z не кратны 3 (как попарно простые с X), получается в (7) (Z-Y) кратно 3 $\[ \Rightarrow \]$ $\[ (X^2 + X(Z - Y) + (Z - Y)^2 ) \]$ кратно $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ в (7) в знаменателе содержится $\[ 3^3 \]$ , а в числителе $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ Y кратно 3 – получили противоречие

Перепутали числитель и знаменатель.
Не доказано, что числитель и знаменатель не могут оба делиться на $3^3$.

Ну и далее те же ошибки.

[Belfegor]

venco в сообщении #457560 писал(а):

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):

Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.

Выделенное не доказано.

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):

Рассмотрим (7):
т.к. Y и Z не кратны 3 (как попарно простые с X), получается в (7) (Z-Y) кратно 3 $\[ \Rightarrow \]$ $\[ (X^2 + X(Z - Y) + (Z - Y)^2 ) \]$ кратно $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ в (7) в знаменателе содержится $\[ 3^3 \]$ , а в числителе $\[ 3^2 \]$ $\[ \Rightarrow \]$ Y кратно 3 – получили противоречие

Перепутали числитель и знаменатель.
Не доказано, что числитель и знаменатель не могут оба делиться на $3^3$.

Ну и далее те же ошибки.

От великого до смешного один шаг))) Спасибо, расставил числители со знаменателями по местам!)

-- Пн июн 13, 2011 18:30:27 --

venco в сообщении #457560 писал(а):

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):
Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.
Выделенное не доказано.

Мне казалось, что это достаточно элементарно, может именно в доказательстве этого утверждения главное преткновение в элементарном доказательстве БТФ?

[venco]

Belfegor в сообщении #457575 писал(а):

venco в сообщении #457560 писал(а):

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):
Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.
Выделенное не доказано.

Мне казалось, что это достаточно элементарно, может именно в доказательстве этого утверждения главное преткновение в элементарном доказательстве БТФ?

Это может быть и верно, но доказательства у Вас нет.

Ну и главное всё таки:

venco в сообщении #457560 писал(а):

Не доказано, что числитель и знаменатель не могут оба делиться на $3^3$.

[Belfegor]

venco в сообщении #457580 писал(а):

Belfegor в сообщении #457575 писал(а):

venco в сообщении #457560 писал(а):

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):
Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.
Выделенное не доказано.

Мне казалось, что это достаточно элементарно, может именно в доказательстве этого утверждения главное преткновение в элементарном доказательстве БТФ?

Это может быть и верно, но доказательства у Вас нет.

Ну и главное всё таки:

venco в сообщении #457560 писал(а):

Не доказано, что числитель и знаменатель не могут оба делиться на $3^3$.

Попробую)))

[Belfegor]

venco в сообщении #457560 писал(а):

Belfegor в сообщении #457543 писал(а):
Знаменатель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 - (X + Y)Z + Z^2 ) \]$
содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3.
Выделенное не доказано.

Опять серьезные опечатки:в выражениях (4) и (5) у среднего члена надо поменять знак
вот правильные выражения:
$\[ X = \frac{{((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 )}} {{3Y(X + Y)}} \] $
$\[ Y = \frac{{((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 )}} {{3X(X + Y)}} \] $
И соответственно вот такое будет утверждение:
Числитель $\[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 ) \]$ содержит как минимум две тройки, т.к оба сомножителя кратны 3
И вот доказательство в общем виде:
$\[ (X - Y) \]$ кратно 3
Тогда $\[ (X - Y)^2 = (X^2 - 2XY + Y^2 ) \]$ кратно 3
$\[ (X^2 + XY + Y^2 ) = (X^2 + XY + Y^2 - 2XY + 2XY) = (X^2 - 2XY + Y^2 + 3XY) \]$ кратно 3, что и.т.д.

[Belfegor]

Belfegor в сообщении #457585 писал(а):

venco в сообщении #457560 писал(а):
Не доказано, что числитель и знаменатель не могут оба делиться на $3^3$.

2-ая часть
Числитель$ \[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 ) \]$ содержит 3 тройки, и (X+Y) и Z кратны 3.
Тогда для числа $ \[ 3Y(X + Y) \]$ имеем 2 случая:
1-ый случай.
Число $\[ 3Y(X + Y) \]$ содержит 2 тройки, тогда при делении числителя на знаменатель в (4) одна тройка сохраняется и значит, получается, что X кратно 3- получили противоречие, т.к. Z кратно 3

2-ой случай.
Число $\[ 3Y(X + Y) \]$ содержит три тройки, и получаем, что:
(X+Y) кратно $ \[ 3^2 \]$, Z кратно 3, тогда числитель в (8) кратен $\[ 3^3 \]$ т.к. $ \[ (Y - (Z - X)) = ((X + Y) - Z) \]$
и тогда для того, что бы Z было кратно 3, необходимо, что бы (Z - X) было кратно 3, но тогда в (8) в сомножителе (Y-(Z-X)) Y тоже кратно 3 - получили противоречие.

[venco]

Извините, Belfegor, мне лень смотреть подробнее. Поищите ошибки сами.

[Belfegor]

venco в сообщении #457694 писал(а):

Извините, Belfegor, мне лень смотреть подробнее. Поищите ошибки сами.

Я Вас понимаю

[Belfegor]

Часть 2 (продолжение)
Числитель$ \[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 ) \]$ содержит 3 тройки, и (X+Y) и Z не кратны 3.
Тогда ((X+Y)-Z) кратно $\[ 3^2 \]$ и в (4) получаем, что Y кратно $\[ 3^2 \]$ тогда в (6) получаем что (Z-X) тоже кратен $\[ 3^2 \]$,
Рассмотрим $\[ (Z - X)(Z^2 - ZX + X^2 ) = Y^3 \]$ т.к. (Z-X) кратно $\[ 3^2 \]$ и $\[ Y^3 \]$ кратно $ \[ 3^6 \] $ получаем, что $\[ (Z^2 - ZX + X^2 ) \]$ кратно $\[ 3^4 \]$ - получили противоречие, т.к. $\[ (Z^2 - ZX + X^2 ) \]$ всегда кратно только 3.

Ну вот вроде все вопросы закрыл... Прощай ВТФ...?

[Someone]

Belfegor в сообщении #457744 писал(а):

Тогда ((X+Y)-Z) кратно $\[ 3^2 \]$ и в (4) получаем, что Y кратно $\[ 3^2 \]$ тогда в (6) получаем что (Z-X) тоже кратен $\[ 3^2 \]$

(Оффтоп)

Фу, что за гадость Вы понаписали в формулах. Неужели трудно написать просто $3^2$? В Карантин нужно Вашу тему загнать, чтобы формулы написали по-человечески.

По существу: $Z-X$ кратен $3^5$.
Другие Ваши рассуждения не проверял, там тоже могут быть ошибки подобного рода.

P.S. Известно, что теорему Ферма для третьей степени невозможно доказать, изучая делимость на разные степени тройки. Максимум, что удаётся доказать - это что одно из чисел $X,Y,Z$ делится на $3^2$.

[vorvalm]

Формулы (6),(7),(8) некорректны, т.к. аргументами в них
являются все 3 переменные.

[Belfegor]

Финита ля комедия

[Belfegor]

Someone в сообщении #457756 писал(а):

По существу: $Z-X$ кратен $3^5$

По существу, наверное, но вот в этом случае нет.

Часть 2 (продолжение)
Числитель$ \[ ((X + Y) - Z)((X + Y)^2 + (X + Y)Z + Z^2 ) \]$ содержит 3 тройки, и (X+Y) и Z не кратны 3.
Тогда ((X+Y)-Z) кратно $\[ 3^2 \]$ и в (4) получаем, что Y кратно $\[ 3^2 \]$ тогда в (6) получаем что (Z-X) тоже кратен $\[ 3^2 \]$,
Рассмотрим $\[ (Z - X)(Z^2 - ZX + X^2 ) = Y^3 \]$ т.к. (Z-X) кратно $\[ 3^2 \]$ и $\[ Y^3 \]$ кратно $ \[ 3^6 \] $ получаем, что $\[ (Z^2 - ZX + X^2 ) \]$ кратно $\[ 3^4 \]$ - получили противоречие, т.к. $\[ (Z^2 - ZX + X^2 ) \]$ всегда кратно только 3.

[Someone]

Belfegor в сообщении #458166 писал(а):

Тогда ((X+Y)-Z) кратно $\[ 3^2 \]$ и в (4) получаем, что Y кратно $\[ 3^2 \]$ тогда в (6) получаем что (Z-X) тоже кратен $\[ 3^2 \]$,

Неверно. $Z-X$ делится на $3^5$, и это легко доказывается.

Belfegor в сообщении #458166 писал(а):

$\[ (Z^2 - ZX + X^2 ) \]$ кратно $\[ 3^4 \]$

Неверно. Во-первых, $Z^2+ZX+X^2$, во-вторых, делится на $3$ и не делится на $3^2$. Это легко доказывается (собственно, из этого и следует, что $Z-X$ делится на $3^5$).
Доказательство. Обозначим $k=\frac{Z-X}3$. Тогда $Z=X+3k$ и

$$Z^2+ZX+X^2=(X+3k)^2+(X+3k)X+X^2=3(X^2+3k(X+k)).$$

Так как $X$ не делится на $3$, то полученное выражение делится на $3$ и не делится на $3^2$.