матрица положительно определенной квадратичной формы

[IGreench]

(43.26 Кострикин) Доказать, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы не превосходит произведения элементов её главной диагонали.

Привет! в данной задаче я не могу понять способ её решения... пробовал на простой матрице и хотел по индукции, но получаются громоздкие уравнения, которые я не смог решить. а как представить эту задачу в общем виде - не понял. точнее как связать эту матрицу с произведением элементов её диагонали...
зараннее спасибо!

[caxap]

(Мнение студента)

Т. к. квадр. форма положительно определённая, то можно считать, что она порождена скалярным умножением, а тогда матрица его -- это матрица Грама, и использовать геометрический смысл.

[mihailm]

представим эту матрицу в виде произведения ортогональной диагональной и ортогональной
и найдем чему равно произведение элементов ее главной диагонали, вроде катит

[мат-ламер]

Недели три назад обсуждалась эта тема. Было предложено три решения - через матрицу Грама, разложение Холецкого и ещё через какое-то разложение.

[mihailm]

мат-ламер в сообщении #455426 писал(а):

Недели три назад обсуждалась эта тема
...

(Оффтоп)

А где я был три недели назад?

[IGreench]

спасибо огромное! буду пробовать :)
а не могли бы кинуть ссылку на ту тему?

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #455403 писал(а):

представим эту матрицу в виде произведения ортогональной диагональной и ортогональной

если запятая не пропущена -- то я лично не смогу. Впрочем, и так не смогу дальше продвинуться.

-- Ср июн 08, 2011 00:38:42 --

мат-ламер в сообщении #455426 писал(а):

Было предложено три решения - через матрицу Грама, разложение Холецкого и ещё через какое-то разложение.

Вообще-то второе (холецкое) -- это было подмножество первого.

[bot]

В лоб по методу Лагранжа выделения полных квадратов:
1) Так как кв. ф. > 0, то все диагональные элементы положительны и остаются положительными при выполнении алгоритма.
2) Коэффициенты при квадратах уменьшаются.
3) Определитель инвариантен, поскольку преобразование координат унитреугольно.

[IGreench]

Цитата:

2) Коэффициенты при квадратах уменьшаются.
3) Определитель инвариантен, поскольку преобразование координат унитреугольно.

можно про эти два пункта поподробнее? не понял откуда это следует...

[bot]

2) Выполните один шаг алгоритма и убедитесь
3) А куда подробнее? Инвариантен, потому что унитреугольно.

[Anexroid]

Жека, topic46048.html

bot в сообщении #456366 писал(а):

2) Выполните один шаг алгоритма и убедитесь
3) А куда подробнее? Инвариантен, потому что унитреугольно.

2) Просто выполнить и убедиться - не прокатит. Нужно обоснование "Почему?" да "Откуда?" ((((