Ранг системы векторов

[Evgeny_Sandakov]

Почему при вычислении ранга матрицы мы записываем вектора в столбцы и получается складываем разные координаты?
Например: a(1,2,3) b (4,5,6), c(7,8,9)
и мы записываем матрицу как (1 4 7)
(2 5 8)
(3 6 9)
и при эл преобразованиях мы складываем разные координаты ?почему?
Ведь это векторы?
Конечно, ясно если записать систему и рассматривать координаты просто как числа,но ведь это координаты векторов!

[arseniiv]

Разве ранг меняется при транспонировании матрицы?

-- Чт июн 09, 2011 01:45:14 --

А векторы вообще ни причём.

-- Чт июн 09, 2011 01:46:05 --

Потому что ранг матрицы их в своём определении не использует.

[Evgeny_Sandakov]

Уважаемый arseniiv, я прошу прощения, возможно, стоило назвать тему "Ранг системы векторов". Как нетрудно догадаться из моего поста, речь идёт именно о системе векторов. Когда мы имеем систему из трех векторов и хотим определить, является ли данная система линейно зависимой, мы определяем ранг этой системы. Ранг при транспонировании не меняется, однако если мы записываем координаты векторов в столбцы матрицы, а затем начинаем делать элементарные преобразования строк, то с точки зрения геометрии мы начинаем складывать числа из разных пространств (скажем, складывать первую и вторую координату одного и того же вектора).

[ИСН]

Ну и что? Ранг-то один и тот же, хоть по столбцам считай, хоть по строкам.

[ewert]

arseniiv в сообщении #455886 писал(а):

Потому что ранг матрицы их в своём определении не использует.

Это смотря что брать за исходное определение.

[arseniiv]

Ну, даже если брать другое определение, это ведь будет доказуемым утверждением!

[Evgeny_Sandakov]

ИСН в сообщении #455902 писал(а):

Ранг-то один и тот же, хоть по столбцам считай, хоть по строкам.

Да, но в одном случае (записав векторы в строки) мы элементарными преобразованиями строк пытаемся получить нулевую строку, т.е. фактически находим линейную комбинацию векторов, тождественно равную нулевому векторы, и здесь я не вижу никакого противоречия, но в другом случае (записав векторы в столбцы) элементарные преобразования строк не несут в себе никакой смысловой нагрузки - индекс строки у вектора будет означать i-ю координату, и складывать разные координаты, вообще говоря, нельзя (с чисто геометрической трактовки). Это-то меня и смущает.

[alex1910]

Записав векторы в строки (и найдя ранг) получим размерность пространства, натянутого на данные вектора. Записав в столбцы - размерность сопряженного пространства, которая, разумеется, равна размерности исходного пространства - так что с геометрической интерпретацией все в порядке.