Распределения Максвелла и независимость направления вектора

[Curiousguy]

На днях, читая про теорию групп, столкнулся с интересной историей, рассказывающей как Максвелл решил задачу про распределение скоростей малекул. Говорят что Максвелл исходя всего лишь из двух условии смог найти решение. Вот эти условия:

1) Координаты вектора Х независимы
2) Функция распределения р(Х) не зависит от направления Х

Из первого условия следует что $p(X)=p_{1}(x_{1})p_{2}(x_{2})...p_{n}(x_{n})$ (Почему?)

Я не смог понять следствие из второго условия, и вот здесь я спрашиваю у вас, откуда это всё берётся. Вот утверждение, которое я не могу понять: Из второго условия следует что $p(X)=p(x_{1}^2+x_{2}^2+...+x_{n}^2)$

Скажите, откуда взялись квадраты и почему всё это так?

[ИСН]

Вы зачем-то обозначаете плюсиком умножение, или же у Вас нестандартный подход к независимости?

[Joker_vD]

Вот у нас функция распределения $p(X)$ не зависит от направления $X$. Поворотом переведем $X$ в какой-то другой вектор $X'$. Тогда $p(X)=p(X')$, однако вектор можно перевести поворотом в другой только если у них равны длины. Это значит, что $p(X)$ на самом деле зависит только от длины (или что тоже самое, квадрата длины) вектора $X$ — то есть от $X^2 = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2$.

[Curiousguy]

ИСН в сообщении #454592 писал(а):

Вы зачем-то обозначаете плюсиком умножение, или же у Вас нестандартный подход к независимости?

Хорошо, исправил, теперь мне уже требуется объяснисть почему умножение )))))

[Joker_vD]

Curiousguy в сообщении #454595 писал(а):

Хорошо, исправил, теперь мне уже требуется объяснисть почему умножение )))))

Дык, определение независимости — величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ называются взаимно независимыми, если $P\{\xi_1=a_1,\ldots,\xi_n=a_n\} = P\{\xi_1=a_1\}\cdot\ldots\cdot P\{\xi_n=a_n\}$.

[ИСН]

Вы идёте к дяде, чтобы одолжить 100 баксов. Дядя либо будет на месте (вероятность 2/3), либо нет (1/3). Если будет, то либо даст (вероятность 2/3), либо не даст (1/3). Эти события независимы. Какова вероятность успеха?

[Curiousguy]

Огромное спасибо вам, теперь всё мне понятно стало) Строго не судите меня за незнание, я не учусь в математическом, а просто ради любопытсва читаю книги.

[Curiousguy]

Я продолжу вопрос к теме. Как доказать что эти две функции распределения что были выведены из условии постоянны на сфере $x^2=x_{1}^2+x_{2}^2+...+x_{n}^2$ ?

[Joker_vD]

Curiousguy в сообщении #454670 писал(а):

Как доказать что эти две функции распределения

Тпру. Две? Там одна функция. На нее наложены два предположения. То, что эта функция постоянна на сфере, следует из второго свойства.

[Curiousguy]

Joker_vD в сообщении #454674 писал(а):

То, что эта функция постоянна на сфере, следует из второго свойства.

Можете доказать? Спасибо

-- 06.06.2011, 14:47 --

прости, я хотел сказать как доказать что lnp(x) и p(x) постояны на сфере

[ИСН]

Это второе условие. Не "следует из", а это оно само и есть.

[Curiousguy]

ИСН в сообщении #454696 писал(а):

Это второе условие. Не "следует из", а это оно само и есть.

А как понять что lnp(x) тоже постояна на сфере?

[ИСН]

На какое предыдущее утверждение ссылается слово "тоже"?

[Curiousguy]

ИСН в сообщении #454711 писал(а):

На какое предыдущее утверждение ссылается слово "тоже"?

Цитирую Босса

Из второго условия следует та функция распределения, что я уже написал

т.е функция $p(x), a значит и функция lnp(x)=p_{1}(x)+p_{n}(x) постоянна на сферах x^2=\sum(x_{i}^2)=const$

Собственно у меня два вопроса:

Правильно ли я считаю что функция lnp(x) была получена Формулой Тэйлора?
И второй, почему можно считать что lnp(x) постоянна на сферах?

[Gortaur]

Если $f(x) = C = const$, то $g(f(x)) = g(C) = const$. В Вашем случае: если функция постоянна, то и логарифм от нее не меняется.